高维矩阵求逆的方法，inv、pinv、/

1、inv 与 pinv

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对于方阵A，如果为非奇异方阵，则存在逆矩阵inv(A)
对于奇异矩阵或者非方阵，并不存在逆矩阵，但可以使用pinv(A)求其伪逆

（1）inv

inv(A)*B 实际上可以写成A\B
B*inv(A) 实际上可以写成B/A
这样比求逆之后带入精度要高

A\B=pinv(A)*B 

A/B=A*pinv(B)

（2）pinv

X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差

pinv是求广义逆

先搞清楚什么是伪逆。
对于方阵A，若有方阵B，使得：A·B=B·A=I，则称B为A的逆矩阵。
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A'同型的矩阵B，使得：
     A·B·A=A        
      B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。因此伪逆阵与原阵相乘不一定是单位阵。

当A可逆时，B就是A的逆矩阵，否则就是广义逆。满足上面关系的A,B矩阵，有很多和逆矩阵相似的性质。

如果A为非奇异矩阵的话，虽然计算结果相同，但是pinv会消耗大量的计算时间。

在其他情况下，pinv具有inv的部分特性，但是不完全相同。

（3）\ 运算符

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使用各类优化算法求逆都得不到好的结果，结果一个“\”运算居然很快就得到了很精确的解。这是个很奇妙的事情。因此，追求“\”的运算原理是很必要的。

 matlab的help中写道：

\   Backslash or left matrix divide.
    A\B is the matrix division of A into B, which is roughly the
    same as INV(A)*B , except it is computed in a different way.
    If A is an N-by-N matrix and B is a column vector with N
    components, or a matrix with several such columns, then
    X = A\B is the solution to the equation A*X = B. A warning 
    message is printed if A is badly scaled or nearly singular.
    A\EYE(SIZE(A)) produces the inverse of A.
 
    If A is an M-by-N matrix with M < or > N and B is a column
    vector with M components, or a matrix with several such columns,
    then X = A\B is the solution in the least squares sense to the
    under- or overdetermined system of equations A*X = B. The
    effective rank, K, of A is determined from the QR decomposition
    with pivoting. A solution X is computed which has at most K
    nonzero components per column. If K < N this will usually not
    be the same solution as PINV(A)*B.  A\EYE(SIZE(A)) produces a
    generalized inverse of A.
 
    C = mldivide(A,B) is called for the syntax 'A \ B' when A or B is an
    object.

inv：Y=inv(X)返回方阵X的逆矩阵，如果X病态或者高度奇异，则会显示警告信息。实际上，很少需要真的把矩阵的逆求出来，常见的使用失误主要出现在求解线性方程组AX=b。一种求解方法为x=inv(A)*b，但如要达到更快，更稳定，就得用X=A\b。这个算法使用高斯消去法，因此不产生逆矩阵。

“\”：反斜线符号，矩阵左除。如果A是方阵，A\B近似等于inv(A)*B，只是他们的算法不一样。如果A是n*n的方阵，B是n*1的列向量，或n*?的矩阵，那么X=A\B是AX=B的解。如果A很病态或者很奇异，很会显示警告信息。A\EYE(SIZE(A))计算A的逆，参见mldivide可得到更多信息。如果A是m*n的矩阵，m!=n，B是m*1或m*?的列向量，那么X=A\B就是线性方程组AX=B（超定或者欠定）的最小二乘解。A的有效秩（effective rank）k有选主元的QR分解决定。Asolution X is computed that has at most k nonzero componentspercolumn。如果K，结果通常和pinv(A)*B不一样，后者是最小范数解。A\EYE(SIZE(A))用来求解A的广义逆。

mldivide(A,B)：等价于A\B，A和B必须有一样多的行，除非A是个标量（这时就等于.\）。如果A是个方阵，A\B近似等于inv(A)*B，只是两者算法不一样。如果A是m*n的矩阵，那么X=A\B求解AX=B（超定或欠定）的最小二乘解，即（AX-B）的范数极小。