概率论中的“矩”是什么意思

在前两篇文章(时域分析——有量纲特征值含义一网打尽、时域分析——无量纲特征值含义一网打尽)中提到了“矩”这个概念。例如期望是一阶矩,方差是二阶矩等等。要怎么理解“矩”这个概念呢?

说到“矩”,很容易想到物理学上的“力矩”,而“力矩=力臂×力”。我们从力矩开始说起。

原点矩

首先我们来看一个例子:

概率论中的“矩”是什么意思_第1张图片

这里有一个船舵,有三个船员都用力转动船舵,不过着手点力臂分别L1 、L2和L3。那么平均力矩是多少?

概率论中的“矩”是什么意思_第2张图片                   (1)

有个问题,如果有个船员反向推动船舵,要怎样衡量大家用力的总能量呢?很简单,将力取平方。比如F2对应的力方向相反,则平均能量可以写成:

概率论中的“矩”是什么意思_第3张图片                 (2)

(1)式即一阶原点距,(2)式即二阶原点距。所谓一阶二阶,指代的是力矩的阶数。前者衡量的是力矩的平均水平,后衡量的是能量。所谓“原点”,是因为力矩的计算是指向船舵原点的,但既然有指向原点的“原点矩”,就有指向其他位置的矩,这种矩叫“中心距”。

中心矩

这个“中心”,指的是哪里呢?——是平均值。为了便于理解,我们将上述例子中的力取相等的F。且取L1=5l、L2=6l、L3=4l。

概率论中的“矩”是什么意思_第4张图片

那么“中心”指的就是,画出来就是这样:

概率论中的“矩”是什么意思_第5张图片

也就是图中的红圈,其代表的力矩是5Fl,这是中心距计算里的“中心”,也就是力矩的平均值。

(1)那么一阶中心距是:

概率论中的“矩”是什么意思_第6张图片

是的,一阶中心距一定等于零,所以你听到的中心距一定是从二阶开始的。

(2)那么二阶中心距是:

概率论中的“矩”是什么意思_第7张图片

有没有觉得眼熟?没错,二阶中心距就是方差。它衡量的是例子中,三个力矩的离散程度,这个可以直观地理解到。

(3)同理,三阶中心距就是:

概率论中的“矩”是什么意思_第8张图片

三阶中心距也叫偏度。是的,跟我们之前文章里提到的“偏度因子”是有关的。要记住带“因子/系数”的都是无量纲的,怎样消除的量纲呢,也很简单,对于三阶中心距,除以标准差的三次方,即可消除量纲。即:

这里再一次印证了标准差的妙用,因为它的量纲与原物理量一致,常常用幂指数的方式消除量纲,上一篇文章中的相关系数也是用标准差消除量纲的。

(4)依旧同理,四阶中心距就是:

概率论中的“矩”是什么意思_第9张图片

四阶中心距也叫峭度或者峰度。峭度因子是消除量纲后的峭度,方法是除以标准差的四次方。即:

综合上述“原点矩”和“中心矩”的描述,其一般表达式分别为:

原点矩:概率论中的“矩”是什么意思_第10张图片

中心距:概率论中的“矩”是什么意思_第11张图片

 

好了,关于概率论中的“矩”的概念基本都介绍完了,下次在看到“几阶某某矩”不明白的时候可以找出这篇文章看一下,相信对你的理解能有所帮助。

 

总结一下

概率论中的“矩”是什么意思_第12张图片

 

参考:

https://blog.csdn.net/huguozhiengr/article/details/81607637

 

 

概率论中的“矩”是什么意思_第13张图片

 

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