求域上多项式的逆元

问题描述

设域$\mathbb{F}={\mathbb{Z}}_p[x{]}_{f(x)}$，其中$f(x)$为${\mathbb{Z}}_p$上的不可约多项式，多项式$g(x)\in \mathbb{F}$，求$g(x)$在$\mathbb{F}$上的逆元。

求逆过程

先做辗转相除法：令$r_0=f(x),r_1=g(x)$
$$\begin{array}{rl}{r}_0& =r_1{q}_1+r_2\dots \dots 1\\ r_1& =r_2{q}_2+r_3\dots \dots 2\\ & \dots \\ r_{n-2}& =r_{n-1}{q}_{n-1}+r_n\dots \dots n-1\\ r_{n-1}& =r_n{q}_n+r_{n+1},其中r_{n+1}=0\dots \dots n\end{array}$$

方法1：

因为$s(x)f(x)+t(x)g(x)=(f(x),g(x))$，当$(f(x),g(x))=1$时有：
$$(t(x)g(x){)}_{f(x)}=(1-s(x)f(x){)}_{f(x)}=1$$所以$t(x)$即为$g(x)$在域$\mathbb{F}$上的逆元。

其中$b_i=b_{i-2}-b_{i-1}\ast q_{n-i}$，$t(x)=b_{n-1}$。

方法2：

令$b_1=q_{n-1}$，计算：

其中$b_i=b_{i-2}+b_{i-1}\ast q_{n-i}$。
  当$n$为奇数时，$t(x)=b_{n-1}$；
  当$n$为偶数时，$t(x)=-b_{n-1}$；