匹配滤波器的设计

以下讨论的是理想信道。即不存在码间干扰情况下接收滤波器如何设计，使得系统性能最佳。

一、匹配滤波器

1.何为匹配滤波器？

       匹配滤波器是一种最佳的线性滤波器，他的依据是抽样时刻输出信噪比最大。

 

       无码间数字基带系统的误码率表达式知：要使系统的误码率最小，就必须是系统在抽样时刻的信噪比最大，此时基带系统是最佳的，其中误码率表达式为：

                  

将接受滤波器设计成匹配滤波器，就能使系统在抽样时刻的信噪比最大。一般的数字基带系统结构为:

             

 

2.信噪比？

         设 是一确定信号与噪声的混合波，为在时域的持续时间，的频谱函数为,噪声的双边功率谱密度为,如何设计匹配滤波器使滤波器输出信号在抽样时刻具有最大的信噪比？结构如图所示：

                                            

        由于匹配滤波器是个线性系统，根据线性系统的叠加性，输入为确定信号和噪声项的叠加，那输出信号可以是两者分别作用于系统产生的输出信号的叠加。

       设,其中是经过匹配滤波器后的输出信号的频谱函数。匹配滤波器在时刻输出抽样值和匹配滤波器输出信号的瞬时功率分别为:

                                          

由于噪声项是平稳高斯随机过程，故噪声功率大小：

                        是经过匹配滤波器后的输出

定义抽样时刻的输出信噪比定义为：

                                   

3.如何得到Max(）？

首先介绍许瓦兹不等式：

                     

将分母中，分别当成不等式中的,带入可得:,其中E为发送信号的能量:当不等式成立时，即和成立时，信噪比取得最大值，为。

                                     

       故在噪声为加性高斯白噪声条件下，匹配滤波器输出最大信噪比只取决于输入信号波形的能量与噪声功率谱密度之比，而与输入信号波形的细节无关。
 

4.由最大信噪比的条件得到与:

                                        

由于与最大信噪比无关，故可任意选取。该式确定了匹配滤波器与之间的关系。

5.已知波形，如何获得？

                          

6.抽样时刻的确定。

由于是物理可实现，即是因果系统。当冲激函数在作用于匹配滤波器时，输出的就是,故在后才有波形出现，由于,即：

  在时，消失，即       

      为何?   由于实际中输入信号波形的持续时间是有限的，如上图中的,为了获得最大输出信噪比（在时刻达到最大信噪比），且不希望波形到达后过很久才进行判决，所以通常选择抽样时刻。

7.总结

1）匹配滤波器设计准则为抽样判决时刻信噪比最大准则。

2）匹配滤波接收与基于相关器的最佳接收是等价的。

 3）在理想信道条件 配滤波器输出最大信噪比只取决于输入信号波形的能量与噪声功率谱密度之比，而与输 入信号波形的细节无关。因此，匹配滤波接收方法对于任何一种数字信号波形都是适用的，不论是基带数字信号还是带通数字信号。