证明 1+1/2+......+1/n不是整数

闲来无事翻翻初等数论，顺便编写习题解答，全当是学习数论的同时练习LaTeX了，不想第一节的最后一道习题就难住了，苦思良久无果之后，群里有同行在《初等数论100例》中竟然找到了该题，我大体看了下它的证明，可读性不太理想，但思路倒是记住了，今天无聊顺手整理一下。

求证 1+12+⋯+1n 不是整数。

证明： 对正整数 i ，将它的因数中的2全部分解出来： i=2λili ，其中 li 是奇数， i=1,2,…,n ，记集合 λi 中最大的值为 λ ,在 n>1 时有 λ>0 ，并且这个最大值只出现一次，因为若不然的话，就有 i=2λli 和 j=2λlj ，然而 li 和 lj 都是奇数，因此它两者之间存在着一个偶数，也就是在 i 和 j 之间还存在着一个数 k=2λ+1lk ，这与 λ 的最大构成矛盾，所以这个最大值只能出现一次。
现在令

Sn=1+12+⋯+1n

两端同乘以 2λ−1l1l2⋯ln ，得

2λ−1l1l2⋯lnSn=Q+P2

其中后一项是使得 λi 达到最大的那一项，其余各项归于 Q ， Q 自然是一个整数， P=l1l2⋯ln/lm 自然也是整数，而且还是个奇数，因此，等式的成立就能证明 Sn 不能是整数。