社区划分的标准--模块度

在社区发现算法中，几乎不可能先确定社区的数目，于是，必须有一种度量的方法，可以在计算的过程中衡量每一个结果是不是相对最佳的结果。

模块度（Modularity）用来衡量一个社区的划分是不是相对比较好的结果。一个相对好的结果在社区内部的节点相似度较高，而在社区外部节点的相似度较低。

全局模块度 

设A_vw为网络的邻接矩阵的一个元素，定义为：

假设c_v和c_w分别表示点v和点w所在的两个社区，社区内部的边数和网络中总边数的比例：

 

函数δ(c_v,c_w)的取值定义为：如果v和w在一个社区，即c_v=c_w，则为 1，否则为 0。m 为网络中边的总数。 

模块度的大小定义为社区内部的总边数和网络中总边数的比例减去一个期望值，该期望值是将网络设定为随机网络时同样的社区分配所形成的社区内部的总边数和网络中总边数的比例的大小，于是模块度Q为：

 

其中k_v表示点v的度。

 

设e_ij表示社区i和社区j内部边数目的和与总边数的比例，a_i表示社区i内部的点所关联的所有的边的数目与总边数的比例。

    

为了简化Q的计算，假设网络已经划分成n个社区，这个时候就有一个 n维矩阵，Q 的计算可以变成：

 

在进行每次划分的时候计算Q值，Q取值最大的时候则是此网路较理想的划分。Q值的范围在0-1之间，Q值越大说明网络划分的社区结构准确度越高，在实际的网络分析中，Q值的最高点一般出现在0.3-0.7之间。

局部模块度 

有时候，可能不知道全网络的数据，可以用局部社区的局部模块度的方式来检查社区的合理性。假设有一个已经检测出来的社区，社区的节点的集合为V，这些节点所有的邻接节点而加入到集合当中来，形成新的集合V^*。定义V*的邻接矩阵为：

于是，和全局模块度相似的是，可以用节点集V^*全部属于节点集V中的元素所占的比例的大小来衡量一个社区的好坏：

其中，δ(i,j)表示的是如果i，j都是V中则值为1，否则为0。m^*表示的是邻接矩阵内边的数目。

局部模块度比全局模块度要快的多，因为局部模块度的计算只需要用到局部的网络信息，只需要在刚刚开始的时候扫描一下整个网络。对于中小规模的网络可能局部模块度的效果要低于全局模块度，但是而且对于中等或者大规模的社会网络来说，局部模块度的效果可能还要好一些。

参考资料：

Finding community structure in very large networks