中国剩余定理

中国剩余定理用于求解 x≡ai(mod mi),其中mi两两互质，x有唯一解。

令M为mi的乘积，wi = M/mi,wi关于模mi的逆元为pi,即满足wi*pi + mi*qi = 1.

则上述方程组等价于 x≡ w1*p1*a1 + w2*p2*a2 +......+wk*pk*ak（mod M）................................................................①

验证： 当M = m1时， （w2*p2*a2 +......+wk*pk*ak）%m1 = 0，那么上式变为 x≡w1*p1*a1(mod m1)，又因为w1的关于模m1的逆元是p1，那么进一步化简为x≡a1(mod m1)。类比当M = m2,m3,,,,mk时，①式都是成立的。

因此求x,只需求w1*p1*a1 + w2*p2*a2 +......+wk*pk*ak（mod M），其中wi,ai是已知的，pi可根据方程wi*pi + mi * qi = 1用扩展欧几里得求出。

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