从零开始手撸红黑树，带你领略编程的魅力

作者 | 曹金霖

企鹅杏仁 Java 工程师，正在锻炼自制力的朴素程序猿。

上节回顾

上节内容我们学习了自平衡二叉搜索树 AVL 树，在算出影响平衡的节点后，通过左旋和右旋的组合，使得整个二叉树的左右子树的高度差不大于 1 ；

这节内容就来到了这个系列的关键点了，红黑树的相关内容；

红黑树

红黑树也是一种自平衡的二叉搜索树（以前名为平衡二叉 B 树）

红黑树必须满足 5 条性质

1. 节点是 RED 或者 BLACK

2. 根节点是 BLACK

3. 叶子节点（外部节点，空节点）都是 BLACK

4. 1. 红黑树的节点的度都为 2，为满足这个性质，红黑树需要补全叶子节点中度不为 2 的节点。补全方式很简单，对每个度不为 2 的节点添加一个空的黑节点，如上图中节点数据为 null 的节点。

5. RED 节点的 子节点 都是 BLACK

6. 1. 由这个性质可以推断出如下的规则

   2. RED 节点的 parent 都是 BLACK

   3. 从根节点到叶子节点的所有路径上不能有 2 个连续的 RED 节点

7. 从任一节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的 BLACK 节点

从这些性质上看很难理解为什么满足这些性质的树就是平衡的。红黑树之前的名字叫平衡二叉 B 树。大家都知道只有起错的名字，没有叫错的外号。那红黑树和 B 树又有什么关系呢。所以在深入学习红黑树之前，我们先学习一下 B 树，现在先忘记上面的红黑树性质，进行 B 树的学习；

B 树（B - tree， B-树）

B 树：一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统，数据库的实现。

可以看出 B 树有以下特点

1. 1 个节点可以存储超过 2 个元素，可以拥有超过 2 个子节点

2. 拥有二叉搜索树的一些性质

3. 平衡，每个节点的所有子树高度一致

4. 比较矮

m 阶 B 树的性质（m>=2）

1. 每个节点最多只有 m 个子节点

2. 每个非叶节点（根节点除外）至少具有 ⌈ m / 2 ⌉个子节点。（ ⌈ -> 向上取整 ）

3. 如果根不是叶节点，则根至少有两个子节点

4. 一个有 k 个子节点的非叶子节点包含 k − 1 个元素

5. 所有叶子都出现在同一层。

由上面的性质可以推断出一下结论

假设一个节点存储的元素个数为 x

1. 根节点：1<= x <= m-1 （性质 1，4）

2. 非根节点：⌈m/2⌉ - 1 <= x <=m-1 （性质 1，2，4）

假设一个子节点的个数为 y

1. 根节点上的子节点数：2<= y <= m （性质 1，3）

2. 非根节点上的子节点数：⌈m/2⌉ <= y <= m （性质 1，2）

比如 m = 3 时， 2<=y<=3 因此可以称为（2,3）树，2-3 树 比如 m = 4 时， 2<=y<=4 因此可以称为（2,3,4）树，2-3-4 树

B 树 VS 二叉搜索树

B 树和二叉搜索树在逻辑上是等价的

如下图，当把二叉搜索树的（18,33）节点合并，（23,30）节点合并，（20.21）节点合并，（45,47）节点合并，图 1 的二叉搜索树就是图 2 所展示的 3 阶 B 树。

图 1

图 2

当二叉树搜索树的多代节点合并，就是 B 树中存储多个元素的超级节点。

• 2 代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点

• 3 代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点

• n 代合并的超级节点，最多拥有 2 ^n个子节点

m 阶 B 树，最多需要 log_2^m 代合并

搜索

既然B树的逻辑和二叉搜索树是等价的，那搜索的逻辑其实也就差不多了

1. 先在节点内部从小到大开始搜索元素

2. 如果命中，搜索结束

3. 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1

添加

新添加的元素必定是添加到叶子节点，和二叉搜索的添加类似。不同的是 B 树的一个节点可以存储多个元素。但是节点中可以存储的元素个数是有限制的，具体查看上文中的 m 阶 B 树的性质

这里分别有 2 个 3 阶 B 树的添加例子，对应了 B 树添加的 2 种情况，3 阶 B 树的节点中元素的最大个数为 m-1=2

1. 如果节点拥有的元素数量小于最大值，那么有空间容纳新的元素。将新元素插入到这一节点，且保持节点中元素有序。

2. 否则的话这一节点已经满了，将它平均地分裂成两个节点

3. 1. 从该节点的原有元素和新的元素中选择出中位数

   2. 小于这一中位数的元素放入左边节点，大于这一中位数的元素放入右边节点，中位数作为分隔值。

   3. 分隔值被插入到父节点中，这可能会造成父节点分裂，分裂父节点时可能又会使它的父节点分裂，以此类推。如果没有父节点（这一节点是根节点），就创建一个新的根节点（增加了树的高度）。

删除

删除非叶子节点中的元素

删除非叶子节点和平衡二叉树的删除度为 2 的节点的方式是一致的

1. 先找到删除节点的前驱或者后继元素，覆盖所需删除元素的值。非叶子节点的元素必定在叶子节点中

2. 再把前驱或后继元素删除

删除叶子节点中元素

直接在所在节点中删除改元素

删除-下溢的解决

以上 2 中情况真正被删除的元素都是在叶子节点中，在删除叶子节点中的元素后，可能会出现删除后的节点中的元素的个数不满足 B 树的性质，即元素的个数小于该节点应该存放元素的最小值 ⌈m/2⌉ -1，这个情况叫（下溢）

如下图 5 阶 B 树中删除非叶子节点

• 根据 m 阶 B 树的性质，下溢节点的元素数量必然等于 ⌈m/2⌉ - 2 

1. 如上图，如果下溢节点临近的兄弟节点有至少 ⌈ m / 2 ⌉ 个元素，可以向其借一个元素

2. 1. 将父节点的元素 B 插入到下溢节点的最小位置

   2. 将元素 A 插入到父节点中

      这种操作就是旋转

      

3. 如果下溢节点的临近的兄弟节点只有 ⌈ m / 2 ⌉ -1 个元素

4. 1. 它与一个直接兄弟节点以及父节点中它们的分隔值合并

   2. 合并后的节点元素个数等于 ⌈m / 2 ⌉ + ⌈ m / 2⌉ - 2 不超过上限 m-1

   3. 这个操作可能会导致父节点下溢
      

   1. 1. 1. 如果父节点是根节点并且没有元素了，那么释放它并且让合并之后的节点成为新的根节点（树的深度减小）

         2. 否则，如果父节点的元素数量小于最小值，重复上述步骤，恢复父节点的平衡

         
         

总结

上面讲了很多关于 B 树相关的知识，那 B 树到底和红黑树有什么关系呢。

我们看一下 4 阶 B 树的特点：

1. 所有节点（包括根节点和非根节点）能存储的元素个数x ：1<= x <=3;

2. 所有非叶子节点的子节点个数y ：2 <= y <=4;

下图是个红黑树

当把红色节点和它的黑色父节点放在同一个水平线上后

所以红黑树和 4 阶 B 树（2-3-4树）具有等价性

• 当 BLACK 节点与它的 RED 子节点融合在一起，形成一个 B 树节点

• 红黑树中 BLACK 的节点个数与 4 阶 B 树的节点总个数相等

看到这里，大家应该就知道B树和红黑树的关系了。对于 B 树我们没有进行代码说明只是逻辑的展示，下一章真正开始红黑树的时候在进行代码说明。

全文完

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