【学习小记】用splay维护序列

在熟悉了伸展树的操作后，就可以用它来维护序列了ㄟ(≧◇≦)ㄏ

splay操作

伸展树的核心操作就是splay。
splay操作可以把一个节点x旋到根，那么也可以把x旋到另一个节点y的下面（即fa[x]=y）。
那么定义过程splay(x,f)为把x旋转到f下面

维护区间

定义伸展树的中序遍历为它要维护的序列。

提取区间

例如我们要提取区间[l,r]。可以先把节点l-1旋转至根，然后把r+1旋转到根的下面。那么r+1的左子树就是[l,r]（此时r+1是l-1的右儿子），如图所示

然后对于区间操作，我们可以提取区间，然后在这个子树的根加个标记。splay操作时可以下传标记。这样就可以完成线段树能做的操作了。

void Rotate(int x,int t)  //t表示x是父亲的左/右儿子
{
    int y=fa[x];
    push_down(y); push_down(x);//标记下传，这两个的顺序不能反
    if (y!=root)
    {
        if (son[fa[y]][0]==y) son[fa[y]][0]=x;else son[fa[y]][1]=x;
    }else root=x;
    fa[x]=fa[y]; fa[y]=x;
    if (son[x][1-t]!=Null) fa[son[x][1-t]]=y;
    son[y][t]=son[x][1-t];
    son[x][1-t]=y;
    Update(y);//更新节点的信息
}

void splay(int x,int f)
//如果要把一个节点旋转到根，那么f=Null。注意：x必须在f的子树上
{
    while (fa[x]!=f)
    {
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if (z==f)
        {
            if (son[y][0]==x) Rotate(x,0);else Rotate(x,1);
        }else
        {
            if (son[z][0]==y)
            {
                if (son[y][0]==x)
                {
                    Rotate(y,0); Rotate(x,0);
                }else
                {
                    Rotate(x,1); Rotate(x,0);
                }
            }else
            {
                if (son[y][1]==x)
                {
                    Rotate(y,1); Rotate(x,1);
                }else
                {
                    Rotate(x,0); Rotate(x,1);
                }
            }
        }
    }
    Update(x);//到最后才更新x,可以减少许多冗余运算
}

void Select(int x,int f)//选取节点x,旋转至f下面
{
    x++;
    int i=root;
    while (size[son[i][0]]+1!=x)//size[x]表示以x为根的子树的大小
    {
        if (size[son[i][0]]>=x) i=son[i][0];else
        {
            x-=size[son[i][0]]+1;
            i=son[i][1];
        }
    }
    splay(i,f);
}

插入&删除区间

假设现在要在位置a后面加若干个数。
那么可以把a旋转到根，然后把a+1旋转到根下面。a+1的左子树必然为空。然后把插入的数用分治法构成一棵平衡二叉树（每次以区间的中间一个数为根，然后处理左右子树），把它挂在a+1的左儿子上。
删除很容易，把要删除的区间[l,r]按上面的提取区间方法提取出来，然后直接删去。
这两个操作是线段树无法做到的。

void init(int f,int &root,int l,int r)//用分治法建一个平衡二叉树
{
    root=(l+r)/2; fa[root]=f;
    if (l0],l,root-1);else son[root][0]=Null;
    if (root1],root+1,r);else son[root][1]=Null;
    Update(root);
}