算法：通过弗洛伊德(Floyd)算法，求出图中任意两个顶点的最短路径

之前我给大家分享过用迪杰斯特拉(Dijkstra)算法求图的最短路径(点我去看看)，今天我再给大家分享一个也是求图的最短路径的弗洛伊德(Floyd)算法

这两个算法都是求图的最短路径，有什么区别呢？
1、Dijkstra算法是求图中一个点到其他所有点的最短路径，Floyd算法是求图中任意两个顶点之间的最短路径
2、Dijkstra算法是通过贪婪算法来实现的，Floyd算法是通过动态规划算法实现的
3、Dijkstra算法的图，所有边的权重不能为负值，Floyd算法的图在不存在负值圈的前提下可以存在负的权重
4、Dijkstra算法在稀疏图上求最短路径更有效率，Floyd算法在稠密图上求最短路径更有效率
5、Dijkstra算法的代码实现比较复杂，Floyd算法的代码实现比较简单

下面是一个图，有A到G七个顶点，顶点间连通用直线连接，直线上的数字代表两点间的权重，可以理解为路程、运输成本等概念，最短路径也就是权重和最小的路径：

下面的这个矩阵叫邻接矩阵，中间的数字是两个顶点的权重，也就是左边顶点到上面顶点的权重，就是左边顶点和上面顶点交叉的那个数字值。对角线全部为0，也就是顶点自己到自己的权重是0，INF代表无穷大，代表这两点之间不连通。这个邻接矩阵在接下来的代码中是以二维数组来实现的，INF则用Integer.MAX_VALUE来表示，也就是int的最大值：

下面是Floyd算法的Java代码实现，具体的算法精髓都在代码和其间的详细注释中。读者可以复制代码到IDE中运行，用DEBUG模式来研究算法的具体实现过程，最后控制台会输出示例图中任意两个顶点的最短路径信息：

/**
 * @author LiYang
 * @ClassName FloydAlgorithm
 * @Description Floyd(弗洛伊德)算法求最短路径
 * @date 2019/10/25 10:46
 */
public class FloydAlgorithm {

    /**
     * 用Floyd(弗洛伊德)算法求出所有顶点对的最短路径
     * @param source 图的邻接矩阵
     * @param distance Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
     * @param path Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
     */
    public static void floydAlgorithm(int[][] source, int [][] distance, int[][] path){
        //矩阵的边长
        int length = source.length;
        
        //初始化距离表和路径表
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            for (int j = 0; j < length; j++) {
                //复制矩阵图到距离表
                distance[i][j] = source[i][j];
                
                //初始化路径表
                path[i][j] = j;
            }
        }
        
        //重要：运行Floyd(弗洛伊德)算法求所有顶点对的最短路径
        for (int k = 0; k < length; k++) {
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                for (int j = 0; j < length; j++) {
                    //如果当前中间顶点的距离小于之前的距离
                    //且中间顶点的两边距离不为无穷大(int最大值)
                    if (distance[i][k] != Integer.MAX_VALUE 
                            && distance[k][j] != Integer.MAX_VALUE 
                            && distance[i][j] > distance[i][k] + distance[k][j]){
                        
                        //更新距离表
                        distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
                        
                        //更新路径表
                        path[i][j] = path[i][k];
                    }
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 将Floyd(弗洛伊德)算法的距离表和路径表，解析为任意两点间的最短路径距离和路径图
     * @param distance Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
     * @param path Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
     * @param vertexName 顶点名字(以路径表中数字为下标取)
     */
    public static void parseShortestPath(int[][] distance, int[][] path, String[] vertexName){
        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
            for (int j = 0; j < path.length; j++) {
                
                //出发点和目的点不一样，才打印信息
                //自己到自己，没有意义
                if (i != j){
                    //下一站的顶点
                    int next = path[i][j];
                    
                    //记录路径，并加入出发点
                    StringBuffer route = new StringBuffer(vertexName[i]);

                    //重要：只要未到达目的点
                    while (next != j){
                        //加入当前顶点
                        route.append(" -> ").append(vertexName[next]);
                        
                        //更新下一站顶点
                        //重要：每次都是找path表的第j列，要么找到下一个顶点，要么找到目的顶点
                        next = path[next][j];
                    }
                    
                    //最后加入目的节点
                    route.append(" -> ").append(vertexName[j]);

                    //输出两个顶点的最短距离，以及最短路径
                    System.out.println(String.format("%s到%s的最短距离为%d，最短路径：%s", 
                            vertexName[i], vertexName[j], distance[i][j], route.toString()));
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 获取示例图的邻接矩阵
     * @return
     */
    public static int[][] initGraphMatrix(){
        //无穷大距离
        final int INF = Integer.MAX_VALUE;
        
        //生成示例图的邻接矩阵
        int[][] matrix = new int[][]{
                {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
                {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
                {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
                {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
                {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
                {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
                {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
        };
        
        //返回图的邻接矩阵
        return matrix;
    }

    /**
     * 运行Floyd(弗洛伊德)算法求出所有顶点对的最短路径
     * 提示：如果需要运行自己的图，则需要重新定义initGraphMatrix()
     * 方法里面的邻接矩阵，并重新定义顶点名数组String[] vertexName
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        //生成示例图中的邻接矩阵(自定义邻接矩阵，改下面的方法的返回值)
        int[][] matrix = initGraphMatrix();
        
        //Floyd(弗洛伊德)算法的距离表
        int[][] distance = new int[matrix.length][matrix.length];
        
        //Floyd(弗洛伊德)算法的路径表
        int[][] path = new int[matrix.length][matrix.length];
        
        //运行Floyd(弗洛伊德)算法
        floydAlgorithm(matrix, distance, path);
        
        //邻接矩阵的下标对应的顶点名字(自定义邻接矩阵，改下面字符串数组)
        String[] vertexName = new String[]{"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G"};
        
        //根据距离表、路径表、名字数组，解析输出任意两点的最短距离和最短路径
        parseShortestPath(distance, path, vertexName);
    }
    
}

运行上面代码的main方法，控制台将会输出示例图中的任意两顶点之间的最短路径详细信息：

A到B的最短距离为12，最短路径：A -> B
A到C的最短距离为22，最短路径：A -> B -> C
A到D的最短距离为22，最短路径：A -> F -> E -> D
A到E的最短距离为18，最短路径：A -> F -> E
A到F的最短距离为16，最短路径：A -> F
A到G的最短距离为14，最短路径：A -> G
B到A的最短距离为12，最短路径：B -> A
B到C的最短距离为10，最短路径：B -> C
B到D的最短距离为13，最短路径：B -> C -> D
B到E的最短距离为9，最短路径：B -> F -> E
B到F的最短距离为7，最短路径：B -> F
B到G的最短距离为16，最短路径：B -> F -> G
C到A的最短距离为22，最短路径：C -> B -> A
C到B的最短距离为10，最短路径：C -> B
C到D的最短距离为3，最短路径：C -> D
C到E的最短距离为5，最短路径：C -> E
C到F的最短距离为6，最短路径：C -> F
C到G的最短距离为13，最短路径：C -> E -> G
D到A的最短距离为22，最短路径：D -> E -> F -> A
D到B的最短距离为13，最短路径：D -> C -> B
D到C的最短距离为3，最短路径：D -> C
D到E的最短距离为4，最短路径：D -> E
D到F的最短距离为6，最短路径：D -> E -> F
D到G的最短距离为12，最短路径：D -> E -> G
E到A的最短距离为18，最短路径：E -> F -> A
E到B的最短距离为9，最短路径：E -> F -> B
E到C的最短距离为5，最短路径：E -> C
E到D的最短距离为4，最短路径：E -> D
E到F的最短距离为2，最短路径：E -> F
E到G的最短距离为8，最短路径：E -> G
F到A的最短距离为16，最短路径：F -> A
F到B的最短距离为7，最短路径：F -> B
F到C的最短距离为6，最短路径：F -> C
F到D的最短距离为6，最短路径：F -> E -> D
F到E的最短距离为2，最短路径：F -> E
F到G的最短距离为9，最短路径：F -> G
G到A的最短距离为14，最短路径：G -> A
G到B的最短距离为16，最短路径：G -> F -> B
G到C的最短距离为13，最短路径：G -> E -> C
G到D的最短距离为12，最短路径：G -> E -> D
G到E的最短距离为8，最短路径：G -> E
G到F的最短距离为9，最短路径：G -> F