【番外篇】利率二叉树模型对冲

这篇比较短，但是我看了很多材料后也没有找到很直接的解释，后来发邮件问Dominic，这个英国人还是一如既往的冷淡，只回了一句UsingForward Rate Agreement to hedge。说实话，一开始看到这个我是拒绝的，但是后来又想了想，看了一点其他这方面的书，尤其是关于二叉树方面的，觉得他说的是很对的。老师就是老师，姜还是老的辣，虽然没有耐心，哈哈^~^

在股票增长二叉树模型中，我们可以很容易地使用无风险利率债券（Risk-freeBond）和衍生品标的物（股票S）来完全模拟期权（Call或者Put）的payoff。模拟组合的初始价值（成本）也就是对应的期权的初始价格；这个组合其他各个时候的价格也就是期权在相应时刻的价格。

好了，我们很容易把这种二叉树模型应用到利率二叉树模型中去，所示如下：

上图中所表示的是一个一期的利率模型。在时刻0，shortrate r0是常数（5%），并非随机。但是到了时刻1时，新的shortrate 变成了r1，而且是随机的：有60%的真实概率是上涨到r1(u)– 10%；而有40%的真实概率下跌到r1(d)– 2.5%。

我们依然要像之前那样对冲掉这个模型下的利率风险，与股票期权二叉树模型下对冲不同的是利率没有直接的标的，而是要通过FRA来作为标的。

具体的信息如下：

1. 利率标的物是FRA，敲定价格为K，合约定于时刻0，从时刻1起有效，到时刻2结束。FRA的payoff在时刻1发生，payoff为r1(u)-K或者K- r1(d)。（为了方便说明，这里考虑的是FRA的payoff单位是1。）

2. 无风险资产是从时刻0开始到时刻1结束的零息债券，利率即r0（无套利），其在时刻0的价值为B0,1。

3. 衍生品资产是从时刻0开始到时刻2结束的零息债券，其在时刻0的价值为B0,2！

 

好了！这个结果很棒！！！首先X是负数，与直觉相同，因为B0,2因为利率上涨而下跌，因此要shortFRA。在这样的一个组合下，时刻1下的二期零息债券的价格得到了完全相同的模拟，即对冲了。接下来，我们就可以用风险中性期望去做种种结果了~

有人可能会问，为什么不考虑时刻2时候B0,2的payoff呢？这样想，B0,2是一个资产，它在时刻1的价格就是r1的实现，因此时刻2的payoff（1元）已经被考虑进来了，不用再模拟时刻2的payoff了。

 

值得注意的是：

1. FRA和B0,2两者的关系是相辅相成的，两者必须知道一个才能求出另一个的无套利价格。

2. FRA在时刻0的价格应该是0，所以敲定价格K被确定了，K应该是多少呢？看上面一条，由B0,2决定！