【应用时间序列分析】课程总结

参考教材：《应用时间序列分析》 何书元；《应用时间序列分析》王振龙
部分总结而已。

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一般的时间序列包含趋势项($T_t$)、季节项($S_t$)和随机项（$R_t$），其中趋势项（阶梯函数）和季节项（周期性）可以视作确定的，但是随机项是不确定的，需要我们着重建模考虑，这本书的内容也是围绕随机项部分展开的。
时间序列和随机过程的关系：
时间序列是一种特殊的随机过程，特殊在时间序列$\{X_t,t\in Z\}$，脚标是离散的，表示每隔一段时间观察一次，观察值$\{x_1,x_2,x_3,....\}$称作“一次实现”；
从初等概率论角度：
时间序列$\{X_t,t\in Z\}$中每一个$X_t$都是随机变量，有均值和方差。只是，时间序列的特别之处在于：这一列随机变量是不独立，是相关的（当然，不相关也可独立也可不独立），所以有了协方差（函数），我觉得它在时间序列中的存在地位差不多就是概率论中的方差，用来衡量时间序列的统计性质；
除了上述均值、协方差等数字特征，我们在概率论中常常打交道的还有分布函数、概率密度函数，在时间序列中分别对应于谱函数、谱函数。
初等概率论中的经典—正态分布，对应于时间序列中的正态时间序列。
一些概念要分清

• 严平稳时间序列和宽平稳时间序列
  严平稳时间序列是指联合分布不随时间平移而发生改变；
  而宽平稳时间序列是指均值和协方差不随时间平移而发生改变；
  表面上看，严平稳时间序列是比宽平稳时间序列严格了很多，但这并不能说明：一个严平稳时间序列就一定是宽平稳时间序列，这是因为严平稳序列尽管有分布函数（谱函数），也不能够保证二阶矩存在（方差存在），比如柯西分布，所以严平稳时间序列也不一定是宽平稳时间序列。
  当然，宽平稳时间序列不一定就是严平稳时间序列，因为分布未必具有平移不变性。
  值得一提的是，对于正态时间序列来说，严平稳、宽平稳是等价的。

遇到一个纷繁复杂的庞大问题，先从特殊情况入手，可以说是数学上常用的研究方法，时间序列也是这样，先研究平稳时间序列。

• 平稳时间序列，粗浅地看，就是基本统计性质（三点：①二阶矩有限 ②均值是常数 ③协方差函数${\gamma }_k$ 不随时间的平移发生改变，只是步长k的函数）不随时间平移而发生改变的时间序列。
• 白噪声
  之所以称之为白噪声，是因为它和白光的特性类似，白光的光谱在各个频率上有相同的强度，白噪声的谱密度在各个频率上的值相同。
  $\{{ϵ}_t,t\in Z\}$是相互独立，均值相同的随机变量。
• AR( p )模型
  Auto Regressive Model ,即自回归模型。
  具体形式：$X_t-a_1{X}_{t-1}-...-a_p{X}_p={ϵ}_t$
  等式左边可以看成是$X_t$记忆了前p期的响应数据，现将其消除。
  根据上述形式，我们可以写出对应的特征方程$A(z)=1-a_{1}z-a_2{z}^2-...-a_p{z}^p=0$,
  对应地，自回归算子为$A(B)=1-a_{1}B-a_2{B}^2-...-a_p{B}^p$，其中B为滞后算子，比如：$B{X}_t=X_{t-1}$
  在特征方程的根大于1时，有平稳解。
  AR( p )模型的偏自相关函数$a_p$是p后截尾的,第p项之前的系数均不为0，之后的系数均为零，所以称为p后截尾的。
  利用观测到的样本我们可以求协方差函数，通过解Yule-Walker方程，得到模型中的线性组合系数。
  Yule-Walker方程是如何得到的？对原AR( p)模型乘$X_{t-k}$，再取期望得到。
• MA(q)模型
  moving average Model, 即滑动平均模型。
  具体形式：$X_t={ϵ}_t+b_1{ϵ}_{t-1}+...+b_q{ϵ}_{t-q}$；
  对应地，特征方程为$B(z)=1+b_{1}z+b_2{z}^2+....+b_q{z}^q$;
  值得注意的是，与AR( p )模型不同的是，MA(q)模型 当特征方程的根在单位圆上或是单位圆外时，均会有平稳解。进一步地，当特征根在单位圆外的MA（q）模型称为最小序列。
  MA(q)模型的自协方差函数是q后截尾的。
  任一个零均值的平稳时间序列，只要自协方差函数是q后截尾的，则该时间序列一定是MA(q)模型。
  有限阶的MA(q)模型，可以转化为 无限阶自回归模型，且无限阶自回归模型的系数是以几何衰减的，所以MA（q)模型的偏自相关函数是拖尾的，同样地，ARMA(p,q)也是拖尾的。
  平稳的AR( p)过程可以转化为无限阶移动平均过程。
  特殊地，$AR(1)$模型是随机游动，不平稳。
• 正态分布

1. 具有封闭性
   正态分布时间序列$\{{\xi }_n,n\in N^{+}\}$且有${\xi }_n\stackrel{distribution}{\to }\xi$ ，则$\xi$服从正态分布。
2. 如何构造零均值正态平稳时间序列？
   使用零均值且服从正态分布的白噪声线性组合叠加而成，要求线性组合的系数是绝对可和的。其中系数的绝对可和保证了时间序列是平稳的。

• 线性滤波器
  时间序列$\{X_t,t\in N\}$，经过绝对可和的无穷级数作为系数线性组合，得到时间序列$\{Y_t,t\in N\}$。
  保 时间序列的平稳性。

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一些值得注意的点

• 无穷级数的绝对可和能够推出平方可和，但是平方可和是推不出绝对可和的。也就是说，绝对可和比较强。
  绝对可和：${\sum }_{j=0}^{\infty }|a_j|<\infty$
  平方可和：${\sum }_{j=0}^{\infty }{a}_j^2<\infty$
• 在概率论中几种收敛的强弱比较

1. ${\xi }_n$依分布收敛$\xi$
   在F的连续点处有分布函数的收敛，即$F_n(x)\to F(x)$;
2. ${\xi }_n$依概率收敛$\xi$
   $\forall ϵ>0,P\{|{\xi }_n-\xi |\ge \xi \}\to 0,n\to \infty$
3. ${\xi }_n$均方收敛到$\xi$
   $E({\xi }_n-\xi {)}^2\to 0,n\to \infty$
   注：依分布收敛 弱于 依概率收敛 弱于 均方收敛。

• 什么是时间序列的同分布？
  从两个时间序列$\{X_t\}$和$\{Y_t\}$中任意取出一段（或连续的一段，或不连续的一段，只要对应脚标相等）都是同分布的，则称时间序列是同分布的。
• 两个正交的平稳时间序列$\{X_t\}$和$\{Y_t\}$,则$Z_t=X_t+Y_t+c$这一时间序列对应的谱函数和谱密度分别是平稳时间序列$\{X_t\}$和$\{Y_t\}$对应谱函数和谱密度的加和。

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