LIS、LCS 的o(n^2) 和 o(nlogn)算法小结

目录

1. LIS(N^2)
2. LIS(N logN)
3. LCS(N^2)
4. LCS(N logN）

因为学习LCS和LIS已经有一段时间了，当时的代码和文件都丢的差不多了，下面的模板和代码都是全新手打，难免有一些小错误。有时间再改进吧。

LIS —— O(N^2)算法，简单的取每个数和前面的数进行比对，例如加入6，和前面逐一比较，并取前面小于 6 的数的下标最大值，它的下标就代表了序列到6为止LIS的长度。

        3 2 4 1 5 6 2 1 
step 1: 1 
step 2: 1 1
step 3: 1 1 2
step 4: 1 1 2 1
step 5: 1 1 2 1 3 
step 6: 1 1 2 1 3 4 
step 7: 1 1 2 1 3 4 2
step 8: 1 1 2 1 3 4 2 1

代码：
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    for( int i=1; i<=n; i++ )
        {
            dp[i] = 1;
            for( int j=1; j<=n; j++ )
            {
                if( ap[i] < ap[j] && dp[i] < dp[j]+1 )
                dp[i] = dp[j]+1;
            }
        }

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LIS —— O(NlogN)算法：（用dp数组模拟栈）。
逐一把序列的元素加入dp数组，如果比前一个（栈顶）元素大，就直接加入（变成栈顶元素），如果比前一个（栈顶）元素小，就在dp数组中二分取【大于自身的最小元素并替换】，最后栈的长度，即为LIS的长度。但是栈内元素并不是LIS。


        3 2 4 1 5 6 2 1
step 1: 3 
step 2: 2
step 3: 2 4
step 4: 1 4
step 5: 1 4 5 
step 6: 1 4 5 6
step 7: 1 2 5 6
step 8: 1 1 5 6

最后用 统计栈内元素个数，即为LIS的长度。


代码：
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        int top = 0;
        for( int i=1; i<=n; i++ )
        {
            if( ap[i] > dp[top] ){ // 如果大于 "模拟栈" 的栈顶元素直接 入栈 长度加 1  
                top++;
                dp[top] = ap[i];
                continue; 
            }
            int m = ap[i];
            // lower_bound 前闭后开 返回不小于 m 的最小值的位置 
            pos = lower_bound(dp,dp+top,m)-dp; // 注意减去dp 
            if( dp[pos] > ap[i])
            dp[pos] = ap[i];
        }
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LCS —— O(N^2)算法
    此处引用一下：
    1.如果xm = yn，那么zk = xm = yn而且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的一个LCS；
    2.如果xm != yn，那么zk != xm蕴含Z是X(m-1)和Y的一个LCS；
    3.如果xm != yn，那么zk != yn蕴含Z是X和Y(n-1)的一个LCS。
    注：上面的Z(k-1)表示序列Z,其中n=k-1。其它的X()和Y()也是一样的。

代码：
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    scanf("%s%s",ac,bc);
        l1 = strlen(ac);
        l2 = strlen(bc);
        for( int i=1; i<=l1; i++ )
            for( int j=1; j<=l2; j++ )
            {
                if( ac[i-1] == bc[j-1] ){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }

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LCS —— O(NlogN）算法
    总的来说，就是把LCS转化成LIS，然后用LIS的NlogN算法来求解。
    实现如下：（引用）
    假设有两个序列 s1[ 1~6 ] = { a, b, c , a, d, c }, s2[ 1~7 ] = { c, a, b, e, d, a, b }。
    记录s1中每个元素在s2中出现的位置, 再将位置按降序排列, 则上面的例子可表示为：
      loc( a）= { 6, 2 }, loc( b ) = { 7, 3 }, loc( c ) = { 1 }, loc( d ) = { 5 }。
    将s1中每个元素的位置按s1中元素的顺序排列成一个序列s3 = { 6, 2, 7, 3, 1, 6, 2, 5, 1 }。
    在对s3求LIS得到的值即为求LCS的答案。