同余详解入门
同余关系：
同余：如果a和b除以c的余数相同，就说a和b关于模c同余，记作a≡b(mod c)。
如果两个数a和b的差能够被m整除，那么就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，28-13=15除以5正好除尽，我们就说28和13对于模数5同于，因为15是5的整
数倍。它的另外一层含义就是说：28和13除以5的余数相同。a和b对m同余，我们记
作a≡b(mod m)。比如，28与13对5同余可以写作28≡13(mod 5)。
同余关系是一种等价关系。
1.自反性：一个数永远和自己本身同余
2.对称性：a和b同余，b和a也就同余
3.传递性：a和b同余，b和c也同余，可以推出a和c也是同余的
同余运算中还有一些稍微复杂的性质。比如，同于运算和整数加减法一样满足“等量+等
量，其和不变”。
性质1.如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有a+x≡b+y(mod m)。
证明：对于a≡b(mod m)，总可以找到p,q，使得 a-mp=b-mq //等式1
同理对于x≡y(mod m)，总可以找到r,s，使得x-mr=y-mq//等式2
等式1+等式2，有(a+x)-m(p+r)=(b+y)-m(q+s) //可以看出余数相等
则有 (a+x)≡(b+y)(mod m) //得证
同样的方法可以证明另外一条性质
性质2：如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有ax≡by(mod m)。
证明：依旧先得到等式1与等式2，等式1*等式2，得到：
(a-mp)(x-mr)=(b-mq)(y-ms)
化简，得 ax+m(mpr-ar-xp)=by+m(mqs-bs-yq)
即有ax≡by(mod m) //得证
性质3：如果ac≡bc(mod m),且c和m互质，则有a≡b(mod m)(就是说同余式两边可
以同时除以一个和模数互质的数)。
证明：对于ac≡bc(mod m)，我们总可以找到p,q使得
ac-mp=bc-mq
移项有ac-bc=mp-mq
即有 c(a-b)=m(p-q)
这说明c(a-b)/m=(p-q) c(a-b)可以被m整除
又因为 c与m互质 所以(a-b)可以被m整除
得到a≡b(mod m)
性质4：若ac≡bd,c≡d(mod m)，且(c,m)=1(c和m的最大公约数是1),得到a≡b(mod m)。
证明：因为(c,m)=1,且c≡d(mod m)所以(d.m)=1
因为c≡d(mod m)所以总可以找到p,q，使得c-mp=d-mq
两边同乘a，有ca-mpa=da-mqa
因为ac≡bd所以有 ba-mpa=da-mqa
所以有 bd≡da(mod m)
又因为(d.m)=1所以有b≡a(mod m)。
除此之外还有其他的同余性质关系等式...
在ACM做题目的过程中经常会遇到mod xxxxxxx... ，这是因为为了避免高精度的运
算。因为我们可以看得出在运算过程中算完再mod还是一遍算一边mod，最后得到的结
果是一样的，就是因为同余 的关系。因为同余关系只是关心余数，不用去在乎除的时候
整数的部分。所以，在整个运算过程中每一步最大都不会超过m，从而避免了高精度的
运算。