埃拉托斯特尼筛法算法复杂度（n*lnlnn）的证明（[欧拉数学]素数倒数之和）

上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上，这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来，换句话说，“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中，数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”，继而打开数学之门！

接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前，我们得需要看一个引理：

无限数列 an的每一项都大于0，那么 ∑n=1∞an与 ∏n=1∞(1+an)的敛散性相同。换句话说，两者互为充分必要条件！

怎么证明呢？记 S=a1+a2+...+an,T=(1+a1)(1+a2)...(1+an)。首先证明 T > 1+S，这应该很简单，因为 (1+a1)(1+a2)=1+a1+a2+a1a2>1+(a1+a2)，所以 (1+a1)(1+a2)(1+a3)>[1+(a1+a2)](1+a3)>1+(a1+a2+a3)，一直递推下去即可。接着我们回忆一下一条平均不等式：倘若 xi都是正数，那么：

x1+x2+...+xnn≥x1x2...xnn

或者写成

x1x2...xn≤(x1+x2+...+xnn)n

这样的话

(1+a1)(1+a2)...(1+an)≤(n+a1+a2+...+ann)n=(1+Sn)n

最后一步由 自然对数的底e的定义可以得到 (1+Sn)n。于是我们实际证明了： T，综合起来就是

1+S

于是，T的值域完全由S决定了起来。显然，S有限的情况下，T不可能趋于无穷！将n推广至无穷显然也是成立的。证毕。顺道提一下：可以检验发现， eS是 T的一个相当好的近似值，其精确度远远超越 (1+S)，于是在相当多的情况下，可以直接用 T≈eS。

现在拿出我们的“金钥匙”—— ξ(s)=∏p(1−p−s)−1。这里我们只用到s=1的情况，并且将右端的素数截取到p，即

(1+12+122+...)(1+13+132+...)...(1+1p+1p2+...)=22−1⋅33−1⋅55−1⋅...⋅pp−1=1+12+13+14+...+1p+...>1+12+13+14+...+1p>ln⁡(p+1)

记第n个素数为 pn，不难证明： pnpn−1<1+1pn−1。

于是

ln⁡(p+1)<22−1⋅33−1⋅55−1⋅...⋅pp−1<2(1+12)(1+13)(1+15)...(1+1p)<2e(12+13+15+...+1p)

记 Q=12+13+15+...+1p，即有 ln⁡(p+1)<2eQ，则

Q>ln⁡ln⁡(p+1)−ln⁡2

因为存在无穷大的素数（素数的个数无限，且递增），所以所有素数倒数之和发散！证毕。

最后，根据前边的“ eS是 T的一个相当好的近似”，我们就可以认为 ln⁡ln⁡p是Q的一个相当好的近似。