埃拉托斯特尼筛法算法复杂度(n*lnlnn)的证明([欧拉数学]素数倒数之和)

上一篇文章我通过欧拉数学的方式简单地讲了数论中的“黎曼ζ函数”和“金钥匙”。事实上,这把“金钥匙”与很多问题之间的联系已经被建立了起来,换句话说,“金钥匙”已经插入到了相应的“锁孔”中,数学家的工作就是要把这个金钥匙“拧动”,继而打开数学之门

接下来我们看看如何证明所有素数的倒数之和发散的。在入正题之前,我们得需要看一个引理

无限数列 an的每一项都大于0,那么 ∑n=1∞an ∏n=1∞(1+an)的敛散性相同。换句话说,两者互为充分必要条件!

怎么证明呢?记 S=a1+a2+...+an,T=(1+a1)(1+a2)...(1+an)。首先证明 T > 1+S,这应该很简单,因为 (1+a1)(1+a2)=1+a1+a2+a1a2>1+(a1+a2),所以 (1+a1)(1+a2)(1+a3)>[1+(a1+a2)](1+a3)>1+(a1+a2+a3),一直递推下去即可。接着我们回忆一下一条平均不等式:倘若 xi都是正数,那么:

x1+x2+...+xnn≥x1x2...xnn

或者写成
x1x2...xn≤(x1+x2+...+xnn)n

这样的话
(1+a1)(1+a2)...(1+an)≤(n+a1+a2+...+ann)n=(1+Sn)n

最后一步由 自然对数的底e的定义可以得到 (1+Sn)n。于是我们实际证明了: T,综合起来就是
1+S

于是,T的值域完全由S决定了起来。显然,S有限的情况下,T不可能趋于无穷!将n推广至无穷显然也是成立的。证毕。顺道提一下:可以检验发现, eS T的一个相当好的近似值,其精确度远远超越 (1+S),于是在相当多的情况下,可以直接用 T≈eS

现在拿出我们的“金钥匙”—— ξ(s)=∏p(1−p−s)−1。这里我们只用到s=1的情况,并且将右端的素数截取到p,即

(1+12+122+...)(1+13+132+...)...(1+1p+1p2+...)=22−1⋅33−1⋅55−1⋅...⋅pp−1=1+12+13+14+...+1p+...>1+12+13+14+...+1p>ln⁡(p+1)

记第n个素数为 pn,不难证明: pnpn−1<1+1pn−1

于是

ln⁡(p+1)<22−1⋅33−1⋅55−1⋅...⋅pp−1<2(1+12)(1+13)(1+15)...(1+1p)<2e(12+13+15+...+1p)

Q=12+13+15+...+1p,即有 ln⁡(p+1)<2eQ,则

Q>ln⁡ln⁡(p+1)−ln⁡2

因为存在无穷大的素数(素数的个数无限,且递增),所以所有素数倒数之和发散!证毕。

最后,根据前边的“ eS T的一个相当好的近似”,我们就可以认为 ln⁡ln⁡p是Q的一个相当好的近似。


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