图论学习四之Disjoint set union并查集

　　　　　　分离集合

• 在有的问题中，需要对不相交的集合(disjoint set)进行这样两种操
  作：
　　• 检索某元素属于哪个集合
　　• 合并两个集合
• 此时，我们可以使用并查集维护这两个操作。

 

　　　　　　并查集的森林实现

• 一般来说我们用森林的结构实现并查集
• 在森林中，每棵树代表一个集合。
• 对每个元素，记录它在森林中的父亲f[i]
　　• 对于根节点而言有f[i]=i，表示它是这个集合的代表元。

• 合并操作：两个集合S1、 S2合并，将其中的一个树根作为另一
  个树根的子树即可。
• 查找操作：对于一个元素u的查找，顺着u往上找，直到线索到
  根节点，也就确定了u所在的集合。

 

　　　　　　两个优化

• 启发式合并：
  　　在合并集合S1、 S2的时候，我们让较小的树成为较大的树的
  子树。这里可以是深度、节点个数等启发函数来比较树的大小。

• 路径压缩：
  　　我们在查找完u至根节点的路径之后，一般将这条路径上的
  所有节点的父节点都设为根节点，这样可以大大减少之后的查找
  次数。

 

　　　　　　并查集的时间复杂度

• 可以证明，经过启发式合并和路径压缩之后的并查集，执行m次
  查找的复杂度为O(mα(m))

• 其中α(m)是Asizekermann函数的某个反函数，你可以近似的认为
  它是小于5的。所以并查集的单次查找操作的时间复杂度也几乎
  是常数级的。

 

EG:

银河英雄传说(NOI2002)

 

可爱的猴子(POI2003)

 

　　　　　　带边权无向图最小连通代价

• 给出一个每条边带有权值的无向图。

• 我们可以删除图里面的一些边，从而使得图当中最大的边的边权
  尽量小，但是我们需要保证点1和点N仍然是连通的。

 

　　　　　　带边权无向图最小连通代价

• 对于“最小的最大”或者“最大的最小”这一类字眼，我们经常会用
  到二分答案的方法。

• 对于这一题，我们可以尝试二分最大边权的最小值，然后我们只
  加入比这个值小的边，然后通过BFS（或DFS）去检查点1和点N是
  不是连通的。

 

EG：

noip2013 货车运输

 

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你看，他这么好看，跟个zz一样看着你，你还伤心吗？
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