差分约束系统及判断负环

简介：
背景是给你若干个不等式，形如xi−xj≤bxi−xj≤b，需要你判断x的解的存在性或是最优解。
而差分约束系统即为这个问题转化为一个图论问题，进而跑最短路来判环或求最值距离（最优解）。
这里转化的原理是三角不等式，即d(v)−d(u)≤cost(u,v)d(v)−d(u)≤cost(u,v)，可以建为一条花费为cost(u,v)cost(u,v)的边(u,v)(u,v)。
常规操作：

根据题意找出一些不等式来建图，（特别注意：题目中的隐藏条件，这个非常关键），以及可能还需要由已知结论推出二级结论的不等式来更优秀的建边。
判环：一些问题建图后不存在最优解，而存在无限减小/增大的负环/正环，需要利用SPFASPFA来判进队列次数来判断，注意，在判负环时，不能用DijkstraDijkstra。
最值距离（最优解）：对于求ximaxximax，便是求最短路；对于求ximinximin，便是求最长路，或者可以将边权变负，也可以求最短路。
建图：当求ximinximin时，即求最长路，那么将不等式转化为d(v)≥d(u)+kd(v)≥d(u)+k，即建一条花费为kk的边(u,v)(u,v)；同理，求ximaxximax时，即求最短路，将不等式转化为d(v)≤d(u)+kd(v)≤d(u)+k，即建一条花费为kk的边(u,v)(u,v)。注意，有时题目只给出d(v)d(u)+kd(v)>d(u)+k，这时就需要放缩一下，取到等号，即d(v)−d(u)≤k−1d(v)−d(u)≤k−1或d(v)−d(u)≥k+1d(v)−d(u)≥k+1。
另外，建图时还要专门设一个源点SS，S连向图中所有的点，且边权为00，这样保证了图的连通性。
Code(模板):
判环：

queueQ;
int dis[N];
char vis[N];
int cnt[N];

void SPFA(){
while(!Q.empty())Q.pop();
memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));//这里是判负环，相反，若为正环，dis即为-INF
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(cnt,0,sizeof(cnt));

Q.push(S);//源点
dis[S]=0; 
vis[S]=1;
cnt[S]=1;

while(!Q.empty()){
    int x=Q.front();Q.pop();
    vis[x]=0;
    for(int i=0;i<(int)E[x].size();++i){
        int y=E[x][i].to;
        if(dis[y]>dis[x]+E[x][i].cost){//这里是判负环，相反，若取max，即判正环 
            dis[y]=dis[x]+E[x][i].cost;
            if(!vis[y]){
                Q.push(y);
                vis[y]=1;
                if(++cnt[y]>K)return 0;//这里K为图中点数，当进队次数大于K时，说明是负环，即无解 
            }
        } 
    }
}
return 1;

}

最优解：

一般就是在判环（判解的存在性）的同时，已经求出最优解，若有解，即输出，否则，一般是impossible(据题意)。这里就不再赘述。

Summary:
个人感觉差分约束系统是比较冷门的知识点，而且应用范围比较窄，
必须是不等式吧，这是判断是否用该算法的关键。
另外，它其实也是最短路的一种，在图论问题中，一些问题有可能会切到更多的分。
补充：
判断负环要用dfs+spfa
代码

bool spfa(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=net[i])
    {
        if(dis[to[i]]<dis[u]+w[i])
        {
            dis[to[i]]=dis[u]+w[i];
            if(vis[to[i]])return 0;
            if(!spfa(to[i]))return 0;
        }
    }
    vis[u]=0;
    return 1;
}

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