由对称性解2-SAT问题

由对称性解2-SAT问题
(by 伍昱,03年IOI国家集训队论文ppt)

2-SAT:
2-SAT就是2判定性问题，是一种特殊的逻辑判定问题。
2-SAT问题有何特殊性？该如何求解？
我们从一道例题来认识2-SAT问题，并提出对一类2-SAT问题通用的解法。

Poi 0106 Peaceful Commission [和平委员会]
某国有n个党派，每个党派在议会中恰有2个代表。
现在要成立和平委员会 ，该会满足：
每个党派在和平委员会中有且只有一个代表
如果某两个代表不和，则他们不能都属于委员会
代表的编号从1到2n，编号为2a-1、2a的代表属于第a个党派

求和平委员会是否能创立。
若能，求一种构成方式。
输入n（党派数），m（不友好对数）及m对两两不和的代表编号
其中1≤n≤8000，0≤m ≤20000
例：输入：3 2              输出：1
           1 3                    4
           2 4                    5

原题可描述为：
     有n个组，第i个组里有两个节点Ai, Ai' 。需要从每个组中选出一个。而某
些点不可以同时选出（称之为不相容）。任务是保证选出的n个点都能两两相容。
（在这里把Ai, Ai' 的定义稍稍放宽一些，它们同时表示属于同一个组的两个节
点。也就是说，如果我们描述Ai，那么描述这个组的另一个节点就可以用Ai'）

初步构图
如果Ai与Aj不相容，那么如果选择了Ai，必须选择Aj' ；同样，如果选择了Aj，
就必须选择Ai' 。
     Ai →   Aj'
     Aj →   Ai'
     这样的两条边对称

我们从一个例子来看：
假设4个组，不和的代表为：1和4，2和3，7和3，那么构图：
   ╭──╮                       
   │     ↓                       
   ①      ③        ④     ╭─⑦   
   ↑     ││             │       
   ╰──╯╰──────┼─╮   
   ╭──╮╭──────╯   │   
   │     ↓↓                 ↓   
   ②      ④        ⑤         ⑧   
   ↑     │                       
   ╰──╯                       

假设：
首先选1
3必须选，2不可选
8必须选，4、7不可选
5、6可以任选一个

矛盾的情况为：
存在Ai，使得Ai既必须被选又不可选。

得到算法1：
枚举每一对尚未确定的Ai, Ai' ，任选1个，推导出相关的组，若不矛盾，则可
选择；否则选另1个，同样推导。若矛盾，问题必定无解。

此算法正确性简要说明：
由于Ai,Ai' 都是尚未确定的，它们不与之前的组相关联，前面的选择不会影响Ai, Ai'。
算法的时间复杂度在最坏的情况下为O(nm)。
在这个算法中，并没有很好的利用图中边的对称性

上图中1和3构成一个环，这样1和3要么都被选择，要么都不被选。
2和4同样如此。
更一般的说：
在每个一个环里，任意一个点的选择代表将要选择此环里的每一个点。不妨把环
收缩成一个子节点（规定这样的环是极大强连通子图）。新节点的选择表示选择
这个节点所对应的环中的每一个节点。
对于原图中的每条边Ai→Aj（设Ai属于环Si，Aj属于环Sj）如果Si≠Sj，
则在新图中连边：
     Si→Sj
 ╭──╮                                       
 │     ↓                                       
 ①      ③     ④ ╭─⑦         (s1)    ④ ╭─⑦
 ↑     ││       │               │       │     
 ╰──╯╰───┼─╮    <=>     ╰───┼─╮
 ╭──╮╭───╯   │           ╭───╯   │
 │     ↓↓           ↓           ↓           ↓
 ②      ④     ⑤      ⑧         (s2)    ⑤      ⑧
 ↑     │                                       
 ╰──╯                                       
这样构造出一个新的有向无环图。
此图与原图等价。

通过求强连通分量，可以把图转换成新的有向无环图，在这个基础上，介绍一个
新的算法。

新算法中，如果存在一对Ai, Ai'属于同一个环，则判无解，否则将采用拓扑排序
，以自底向上的顺序进行推导，一定能找到可行解。

至于这个算法的得来及正确性，将在下一段文字中进行详细分析。

深入分析：
回忆构图的过程：
对于两个不相容的点 Ai, Aj，构图方式为：
     Ai→Aj'  
     Aj→Ai'
前面提到过，这样的两条边对称，也就是说：
如果存在Ai→Aj，必定存在Aj'→Ai' 。

引理：原图具有对称传递性
Ai→Aj→Ak 等价于 Ai→Ak
方便起见，之后“→”代表这样一种传递关系

猜测1：图中的环分别对称
如果存在Ai,Aj，Ai,Aj属于同一个环（记作Si），那么Ai' , Aj' 也必定属于一
个环（记作Si' ）。
再根据前面的引理，不难推断出每个环分别对称。

推广1：新图中，同样具有对称传递性。

推广2：对于任意一对Si, Si' ，Si的后代节点与Si' 的前代节点相互对称。

继而提出
猜测2：若问题无解，则必然存在Ai, Ai' ，使得Ai, Ai'   属于同一个环。
也就是，如果每一对Ai,Ai' 都不属于同一个环，问题必定有解。下面给出简略证明：

先提出一个跟算法1相似的步骤：
如果选择Si，那么对于所有Si→Sj，Sj都必须被选择。
而Si' 必定不可选，这样Si’的所有前代节点也必定不可选（将这一过程称之为删除）。

由推广2可以得到，这样的删除不会导致矛盾。

假设选择S3'
→选择S3'的后代节点, S1'
→删除S3
→删除S3的前代节点S1
S1与S1'是对称的

另外，若每次盲目的去找一个未被确定的Si，时间复杂度相当高。
以自底向上的顺序进行选择、删除，这样还可以免去“选择Si的后代节点”这一步。
用拓扑排序实现自底向上的顺序。

算法2的流程：
1．构图
2．求图的极大强连通子图
3．把每个子图收缩成单个节点，根据原图关系构造一个有向无环图
4．判断是否有解，无解则输出（退出）
5．对新图进行拓扑排序
6．自底向上进行选择、删除
7．输出

小结：
整个算法的时间复杂度大概是O(m)，解决此问题可以说是相当有效了。
在整个算法的构造、证明中反复提到了一个词：对称。发现、利用了这个图的特
殊性质，我们才能够很好的解决问题。
  
并且，由2-SAT问题模型变换出的类似的题目都可以用上述方法解决。

全文总结：
充分挖掘图的性质，能够更好的解决问题。
不仅仅是对于图论，这种思想可以在很多问题中得到很好的应用。
希望我们能掌握此种解题的思想，在熟练基础算法的同时深入分析、灵活运用、
大胆创新，从而解决更多更新的难题。

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