斐波那契数列

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表达式

为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。

 高中的初等数学知识解法

已知

• a₁ = 1
• a₂ = 1
• a_n = a_{n − 1} + a_{n − 2}

 1首先构建等比数列

设a_n + αa_{n − 1} = β(a_{n − 1} + αa_{n − 2})
化简得
a_n = (β − α)a_{n − 1} + αβa_{n − 2}
比较系数可得:

不妨设β > 0α > 0
解得：

所以有a_n + αa_{n − 1} = β(a_{n − 1} + αa_{n − 2}) 即{a_n + αa_{n − 1}}为等比数列。

 2求出数列{a_n + αa_{n − 1}}

有以上可得：

变形得： 令

 3求数列{b_n}进而得到{a_n}

设解得 故数列 b_n + λ 为等比数列
即 而 故有
又有 和
可得

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得出 a_n 表达式

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线性代数解法

 1 首先构建一个矩阵方程

设J_n为第n个月新出生的兔子数量，A_n为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，A_n+1的表达式。

2 求矩阵的特征值: λ

行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ²-λ-1

当行列式的值为0，解得λ₁= 或 λ₂=

 3特征向量

将两个特征值代入

求特征向量 得

=

=

 

 4 分解首向量

第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

将它分解为用特征向量表示。

（4）

5用数学归纳法证明

从

=

可得

（5）

 6 化简矩阵方程

将（4） 代入 （5）

根据 3

 

 7 求A的表达式

现在在6的基础上，可以很快求出A_n+1 的表达式，将两个特征值代入 6 中

(7)

(7)即为A_n+1 的表达式

 

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 近似值

 用计算机求解

可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。

可通过递归的算法解决此两个问题。

 和黄金分割的关系

开普勒发现两个斐波那契数的比会趋近黄金分割：

斐波那契数亦可以用连分数来表示：

而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：

和自然的关系

许多的生物构成都和斐波那契数列有正相关。例如人体从肚脐至头顶之距离和从肚脐至脚底之距趋近于向日葵的种子螺旋排列99%是。

 恒等式

证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。F_n可以表示成用多个1和多个2相加令其和等于n ≥ 1。F_{n + 1}是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1，有F_n种方法来完成对n-1的计算；若第一个被加数是2，有F(n-1)来完成对n-2的计算。因此，共有F_n + F_{n - 1}种方法来计算n的值。

• F₁ + F₂ + F₃ + ... + F_n = F_{n + 2} - 1

计算用多个1和多个2相加令其和等于n+1的方法的数目，同时最后一个加数是2的情况。

如前所述，当n ≥ 0，有F_{n + 2}种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2，就即 1 + 1 + ... + 1　（n+1项），于是我们从F_{n + 2}减去1。

1. 若第1个被加数是2，有F_n个方法来计算加至n-1的方法的数目；
2. 若第2个被加数是2、第1个被加数是1，有F_{n - 1}个方法来计算加至n − 2的方法的数目。
3. 重复以上动作。
4. 若第n + 1个被加数为2，它之前的被加数均为1，就有F(0)个方法来计算加至0的数目。

若该数式包含2为被加数，2的首次出现位置必然在第1和n+1的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后，得出F_n + F_{n - 1} + ... + F₀为要求的数目。

• F₁ + 2F₂ + 3F₃ + ... + nF_n = nF_{n + 2} - F_{n + 3} + 2

• F₁ + F₃ + F₅ + ... + F_{2n - 1} = F_2n
• F₂ + F₄ + F₆ + ... + F_2n = F_{2n + 1} - 1
• 
• 

 相关的数列

斐波那契数列是卢卡斯数列的特殊情况。或是斐波那契n步数列步数为2的情形。

和卢卡斯数列的关系

反斐波那契数列

反斐波那契数列的递归公式如下：

G_{n + 2} = G_n − G_{n + 1}

如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是F_{2n+1} = G_{2n+1}，F_{2n} = - G_{2n}。

反斐波那契数列两项之间的比会趋近。

 巴都万数列

斐波那契数列可以用一个接一个的正方形来表现，巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现，它有P_n = P_{n − 2} + P_{n − 3}的关系。

应用

1970年，Yuri Matiyasevich 指出了偶角标的斐波那契函数

y = F_2x

正是满足 Julia Robison 假设的丢番图函数，因而证明了希尔伯特第十问题是不可解的。