link-cut tree
自己简单研究了下动态树，就先来一发博客吧
动态树
其实很多人都把LCT和动态树搞混了，所以我们先阐明一下定义。
动态树问题
——就是会动的树上的问题(⊙v⊙)
会动——就是树的形态或权值是会变化的
常见问题形势——
- 维护两点的连通性
- 维护两点路径权值的和，最大值，最小值，自定义运算值……
- 维护LCA，直径，重心，自定义点与点的关系……
烦人的动态操作——
- 连接两个点(先前是不连通的)
- 把某个点变成某个点的父亲(先前是不连通的)
- 断开两个点的连接(先前是联通的)
- 修改点权，边权等等……
嗯，这种题一看就是裸数据结构对吧
所以就有了Tarjan发明的link-cut tree(OrzTarjen爷)
link-cut tree基础实现
什么是link-cut tree呢？
这个东西早在杨哲的集训队作业中提出了：QTREE解法的一些研究
上面的文段有很多正确且严谨的证明，下面不会再给出(OrzOrz)
如果通过上面的文段你已经理解了的话，就可以直接开始做题了！(Orz)
如果我没看懂呢？
没关系，你只需要两个知识：树链剖分、splay
首先我们需要了解什么是树链剖分
不会的话先看看吧，有益身心健康：树链剖分讲解版
(ps:这个博主很爷但是很奇怪，大家要小心)
splay的文章我就不引用了，大家随便百度看书都有
说白了，LCT就是用splay实现动态树的链剖分
我们会发现，树链剖分是用的线段树(至少上面那个是)
可是动态树就是因为会动而讨厌
嗯，如果我们把用线段树维护的东西改成用伸展树，以深度为顺序构建splay
听起来可行的样子
多么和谐！
可是具体怎么实现呢？
膜拜一下树链剖分，我们学着用splay维护每次访问的点到它所在树根的链
我们定义 u 的儿子中访问时间最后的点为 w ，若 u 的中以儿子 v 为根的子树包含了 w ，则称 v 为 u 的preferred child(就好像重儿子一样)，自然，我们可以脑补出以下概念:
preferred road(u与v的连边)。
preferred path(连续的preferred road所表示的一条路径)
剩下的非preferred child的儿子吗，我们就像轻儿子一样，直接记个path father就好
这里注意一下，path father只能表示两颗splay之间的关系，不能表示两点的关系(通过下面的图你可以明白)
嗯，想像一下，一棵树原本被分成多个线段树，这些线段树又像树一样相连。
唰！线段树变成了splay!
听起来挺不错的样子是吧( ⊙ o ⊙ )
接下来怎么办？
别急，我们简单梳理一下
没错，我们把一颗树用splay剖分了
每颗splay对应着一条路径(preferred path)
( ps: 我记得杨哲的paper里说的好像是个 a 什么什么 tree 来着，我这里就直接用preferred path代替了)
splay之间构成了一片森林
这样的话原本要维护的森林就可以直接还原
问题来了
怎么取出某个点到所在树根的路径呢(⊙o⊙)？
我们要把 x 到根的路径变成一条preferred path！
这就用到了 access 操作
ps: 请大家在下面务必分清原树和路径(preferred path)
嗯哼！
我们来看看 access 的操作吧
void access(int x)
{
splay(x);//把x splay到所在preferred path的根
cutright(x);//切断x与其右子树的连边
while (splay[x].pf)//若x还存在path father
{
int u=splay[x].pf;
splayup(u);//把u splay到所在preferred path的根
cutright(u);//切断u与其右子树的连边
splay[u].r=x;
splay[x].pf=0;
splay[x].f=u;//将u的右儿子置为x
update(u);//更新u
x=u;
}
return ;
}(一头雾水(⊙o⊙)…）
这是干嘛呢？
这就是把 x 到所在树的树根变成preferred path
其实实现挺直接的，就是利用了splay的伸展性，无脑向上，splay不行就走path father，在路程中顺便更新下preferred path
实现就这几行
这里注意一下：
cutright操作只是在preferred path中断开，并不是在原树中断开(也就是说断开后，你要把右儿子的path father置为x)
嗯我是盗图狗，右边那个A和G之间好像少了点啥……
不明觉厉
通过splay的伸展性，切断再重连得到新的preferred path(Tarjan我真的好崇拜您Orz)
这就是 access
诶，说这些有啥用？
其他的怎么维护呢(⊙v⊙)？
有了 access ，我们可以做如下操作
1.断开 x 与其父亲的连边。
代码如下
void cut(int x)
{
access(x);
splay(x);//取出x到根的路径并将x变成路径根
int l=splay[x].l;
splay[x].l=0;//删除x的左孩子
if (l)//如果左孩子存在，即x不为树根
{
splay[l].f=0;//断开左孩子和x的连边
splay[l].pf=0;//包括path father也要清零(虽说其本来就是0)
update(x);
splay(l);//由于l变成了一棵树的根，所以splay它
}
return ;
}相信通过代码和解释应该都能搞清楚怎么弄的了(^o^)/~
我们的splay是以深度为关键字的
如果是 x 和 y 的连边呢？
你可以稍微维护一下每个节点的父亲
通过 access(x) 和 access(y) 来区分我也不拦着你
2.判断 x 与 y 是否在同一棵树中
我们只需判断 x 和 y 所在的根就可以了
access(x) 之后直接找最左(深度最小)的点就是啦O(∩_∩)O~~！
代码如下
int root(int x)
{
access(x);
splay(x);//取出x到根的路径并将x变成路径根
while (splay[x].l) x=splay[x].l;//无脑找最左
splay(x);//因为找出来的是树根，所以splay一发
return x;
}这里我还是给出找爸爸的代码：
int father(int x)
{
access(x);
splay(x);//取出x到根的路径并将x变成路径根
x=splay[x].l;
while (splay[x].r) x=splay[x].r;//无脑找最右
return x;
}3.将 x 变成所在树的树根
代码很简单
void beroot(int x)
{
access(x);
splay(x);//说多了不想说了，以后的都直接省略
splay[x].rev^=1;//给x所在路径打上翻转标记
return ;
}诶诶诶(O_O)？
这个翻转标记匪夷所思啊！
仔细一想，我们不过是将整条路径翻转了一下
路径是从 x 到根
翻转一下不就变成根到 x 了？
多么机智是不是^_^？
4.在 x 与 y 中连接一条边(这里是把 y 变成 x 的子树)
嗯，首先 root(x) 不等于 root(y)
接着我们将 y 变成所在子树的根
把 y 的path father置为 x
代码：
void join(int x,int y)
{
int rootx=root(x),rooty=root(y);
if (rootx==rooty)
{
//printf("加了就不是树了！！！");
return ;
}
access(x);
beroot(y);//变成根
splay[y].pf=x;//接上x和y
return ;
}5.取出某条路径 x 到 y 的所查询权值
首先这条路径要有( root(x)==root(y) )！( ps: 在程序中我不会给出)
按照常理，我们先求LCA
先 access(x)
再 access(y)
将 x 所在preferred path的path father找出来，就是LCA
如果没有path father，则为 x 与 y 之间的一个
如果LCA就是根，那么只需 access(x) 、 access(y) 即可
否则我们先 access(x) ，再 access( LCA的父亲 )
那么LCA所在preferred path就是 x 到LCA的路径
y 类似
计算的时候别忘了对LCA的重复判断
代码
int LCA(int x,int y)
{
access(x);
access(y);
splay(x);
splay(y);//注意一下splay是放在两个access后
if (!splay[x].pf)
return deep[x][y]?x:y;//深度小的是LCA
else
return splay[x].pf;
}
int find(int x,int LCA)
{
access(x);
access(father(LCA));
splay(LCA);//把LCA变成所在路径的根
return splay[LCA].所需权值;
} 等等！
思考如下方法：
我们先将 x 变成整棵树的树根
再 access(y)
如果是有根树我们在做完操作之后再把根变回去
这样，LCA就被我们完美避开了
代码：
int find(int x,int y)
{
beroot(x);
access(y);
splayup(y);
return splay[y].所需权值;
}突然一下简洁了许多！(^o^)/~
程序不就是追求这个么？
好了，到这里基本的LCT你其实已经会了Y(^o^)Y
在练手之前，我提醒一下几点：
1.注意这颗splay是带区间翻转操作的
2.如果维护的值较多，请仔细理清权值之间的关系并且固定好顺序
嗯，练手题：
spoj 375 QTREE
这题是出了名的
维护一棵树支持两个操作
1.改变第 i 条边的权值
2.询问 a 到 b 的路径上的边权最大值
( ps: spoj上的QTREE系列题目都可以做一做)
山东省选2008 洞穴探测cave
维护一棵树支持三个操作
1.在 x 和 y 之间连一条边
2.将 x 与 y 的连边断开
3.询问 x 与 y 是否联通
输入数据保证操作合法
hdu4010
维护一棵树支持四个操作
1.在 x 与 y 之间连一条边
2.将 x 作为根，然后断开 y 与父亲的连边
3.将 x 到 y 的路径上所有点点权 +k
4.询问 x 到 y 的路径上的点权最大值
每次操作若不合法请输出 −1
如果你能一遍A这三题，说明你的LCT已经上路了(๑´ㅂ`๑)
一点使用技巧
一、边权的维护技巧
之前的题目都没有涉及到边权啊，失误失误(⊙o⊙)！
关于边权的维护，很多人会这么想：
反正一颗节点为 w 的树最多就 w−1 条边
嗯，除了根之外，其他的点全部捆绑上自己与父亲的连边进行维护
多么简单？
一点也不好么╮(╯_╰)╭
如果你去写写你就知道了
access 会出大问题
1.path parent的修改会涉及到这条边的边权
2.当一条preferred path的根并不是这条链的顶端的时候，你会发现这个根绑定的权值和它的path parent的权值都需要维护(稍微不小心就会写错)
3.如果你不相信，你可以自己去实现实现，如果有简单的实现代码，请务必拿来让我膜拜一下/Orz
如果 access 出了问题，那么整个LCT就变得不好了╮(╯﹏╰）╭
嗯，其实我一开始也不知道怎么改进，后来我膜拜了其他Orz的代码
“把一条边拆成一个点，然后按照点维护不就好了么(ーー゛)？”大神这么说
怎么就这么机智呢？还是要Orz一下
来道题练练手吧：
NOI2014 魔法森林forest
在一个 n 个点的无向图上，每条边 i 有两个边权 ai,bi
请你找出一条从 1 到 n 路径，使得两个权值的最大值之和最小
啥？这真的是动态树(O_O)？博主你在逗我吧？
嗯(⊙v⊙)，这真的是动态树(虽然大牛们说自己都是写的spfa(ˇˍˇ）)
思考如下做法：
1.我们按照某一个边权 a 从小到大排序，将其依次加入图中
2.如果两点不连通，则直接加入
3.如果两点连通，则将两点原本的路径上的边权 b 最大的边找出来，然后与新加的边比较，如果新边较大，则不加，否则就把找出来的边删除，然后加入新边
4.如果成功加入某条边之后 1 与 n 联通，则统计答案
算法的思想大致如下：
总之就是按照 a 的边权排个序，轮流加入，维护图的边权b的最小生成树
很贪心对不对？
为什么能贪心呢？
你的问题实际上等价于：为什么 kruskal 算法是对的
这个证明满大街都是，如果你会拟阵则更方便
(UOJ上你是可以看到AC的代码的，你可以膜拜，如果发现问题你也可以hack，嗯，总之UOJ大法好)
二、动态无向图的连通性维护
先来看道题：
上海省选2008 堵塞的交通traffic
题意我就不解释了，因为我并不会讲(这题正解是线段树)
考虑变式题，如果是一个无向图，这该怎么实现连通性的维护呢？
其实很简单
我们离线思考这个问题就会发现:
如果某个时刻两个点之间有多条路径，我们只需维护被破坏时间较后的那条路就可以了
也就是边权被破坏时间的最大生成树
嗯~(≧▽≦)/~，就是这样
如何维护最大生成树可以参考魔法森林的维护方法
妈妈如果我想维护最短路怎么办(=@__@=)？
这个……动态树真的可以做么(其实我也不知道)？
说不定要用到更高端的数据结构，说不定根本就不行
谁知道呢？
(翱犇告诉我：洗洗睡吧，好像没有有竞赛价值的做法)
一点总结
解决动态树的东西肯定是不止LCT这一个东西的，还有ETT(Eular-Tour Tree)
那么为什么非要讲这个呢？
当然是因为LCT是最容易实现的，也足够应付大部分动态树的题目了
额(⊙o⊙)…
如果你还不满足自己在动态树上的造诣的话
你可以去看看翱犇2014年的集训队论文《浅谈动态树的相关问题及简单拓展》(网上有2014集训队论文捆绑版)
如果你知道什么是仙人掌，你也可以去膜拜膜拜VFleaKing大神，并思考思考动态仙人掌(这个在UOJ和BZOJ上都有)
留下一个思考题吧，如果我们在对路径的权值修改操作的同时，加上对子树的权值修改操作，怎么办呢？