【HNOI2017】BZOJ4827礼物题解（FFT）

题目：BZOJ4827.
题目大意：给定两个环$x,y$，其中环$x$可以全体权值加$c$（一个自然数），环$y$可以旋转角度.现在要求操作后${\sum }_{i=0}^{n-1}(x_i-y_i{)}^2$最小.
$1\le n\le 5\ast 10^4,1\le m\le 100,1\le x_i,y_i\le m$.

我们把环$x$要加上$c$直接写出来：
$$\sum _{i=0}^{n-1}(x_i+c-y_i{)}^2$$

大力展开：
$$\begin{gathered} \sum _{i=0}^{n-1}(x_i+c-y_i{)}^2 \\ =\sum _{i=0}^{n-1}(x_i^2+y_i^2+c^2-2x_i{y}_i+2x_{i}c-2y_{i}c) \\ =n{c}^2+\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i^2+\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i^2+2c\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i-2c\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i-2\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i{y}_i \end{gathered}$$

想到能够改变整个式子值的只有$c$和$x_i$与$y_i$相乘形式的项.

把与$c$有关的项写出来：
$$n{c}^2+2c(\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i-\sum _{i=0}^{n-1}{y}_i)$$

发现这个式子中除了$c$都是常量，所以考虑把这个式子最小化.发现这玩意是个二次函数，求个对称轴上下取整的值取个最小值即可.

在考虑与$x_i{y}_i$有关的项：
$$-2\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i{y}_i$$

把$-2$去掉，就变成了让以下式子最大化：
$$\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i{y}_i$$

发现这个式子很像FFT的形式，把$y$数组翻转一下：
$$\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i{y}_{n-i+1}$$

发现这是个卷积可以用FFT优化计算.

可是我们要的是可以旋转的最大值啊，所以考虑破环成链，倍长$y$，得到$n$到$2n-1$项之中的最大值既可以作为原来${\sum }_{i=0}^{n-1}{x}_i{y}_i$的最大值.

总时间复杂度$O(n\log n)$.

代码如下：

#include
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=262144,C=20;
const double pi=acos(-1);

struct comp{
  double a,b;
  comp(double A=0,double B=0){a=A;b=B;}
  comp operator + (const comp &p){return comp(a+p.a,b+p.b);}
  comp operator - (const comp &p){return comp(a-p.a,b-p.b);}
  comp operator * (const comp &p){return comp(a*p.a-b*p.b,a*p.b+b*p.a);} 
};

int n,m,x[N+9],y[N+9],sum;

int Get_sqrfun(int a,int b,int x){return a*x*x+b*x;}

int len,rev[N+9];
comp pw[N+9],a[N+9],b[N+9];

void Get_len(int n){
  int l=0;
  for (len=1;len<=n;len<<=1) ++l;
  for (int i=0;i<len;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<l-1;
}

void FFT(comp *a,int n,int t){
  for (int i=0;i<n;++i)
    if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
  for (int i=1;1<<i<=n;++i){
  	int len=1<<i;
  	comp wn=comp(cos(2.0*pi/len),sin(2.0*pi/len)*(t?-1:1));
  	pw[0]=comp(1,0);
  	for (int j=1;j<len>>1;++j) pw[j]=pw[j-1]*wn;
  	for (int j=0;j<n;j+=len)
  	  for (int k=0;k<len>>1;++k){
  	  	comp x=a[j+k],y=pw[k]*a[j+k+(len>>1)];
  	  	a[j+k]=x+y;a[j+k+(len>>1)]=x-y;
  	  }
  }
}

void Poly_mul(comp *a,comp *b,int n,int m){
  Get_len(n+m);
  FFT(a,len,0);
  FFT(b,len,0);
  for (int i=0;i<len;++i) a[i]=a[i]*b[i];
  FFT(a,len,1);
  for (int i=0;i<len;++i) a[i].a=a[i].a/len+0.5;
}

int ans;

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<n;++i){
    scanf("%d",&x[i]);
    ans+=x[i]*x[i];
    sum+=x[i];
  }
  for (int i=0;i<n;++i){
    scanf("%d",&y[i]);
    ans+=y[i]*y[i];
    sum-=y[i];
  }
}

Abigail work(){
  ans+=min(Get_sqrfun(n,sum<<1,floor(-1.0*sum/n)),Get_sqrfun(n,sum<<1,ceil(-1.0*sum/n)));
  for (int i=0;i<n;++i) a[i]=x[i],b[i]=b[i+n]=y[n-i-1];
  Poly_mul(a,b,n-1,n*2-1);
  int t=0;
  for (int i=n;i<n<<1;++i) t=max(t,(int)a[i].a);
  ans-=t<<1;
}

Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}