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大数据算法(一)亚线性算法

来源：大数据算法 王宏志 

一、概述

大数据定义：在给定的资源约束下，以大数据为输入，在给定时间约束内可以生成满足给定约束结果的算法。

大数据特点：4V

大数据算法可以不是：

  • 精确算法
  • 内存算法
  • 串行算法
  • 仅在电子计算机上运行的算法

大数据算法不仅是：

  • 云计算
  • MapReduce
  • 大数据分析和挖掘的算法

难度：

  • 访问全部数据时间过长

               读取部分数据 亚线性算法

  • 数据难以放入内存

               将数据存储到磁盘上 外存算法

               仅基于少量数据进行计算 空间亚线性算法

  • 单个计算机难以保存全部数据

               并行处理 并行算法

  • 计算机能力不足或知识不足

              人来帮忙 众包算法

 

 

大数据上问题求解计算问题的过程

大数据算法(一)亚线性算法_第1张图片

 

 

 

大数据的算法设计技术

  • 精确算法设计方法
  • 并行计算
  • 近似计算
  • 随机算法
  • 在线算法/数据流算法
  • 外存算法
  • 面向新型体系结构的算法
  • 现代优化算法

 

大数据算法分析

  • 时间空间复杂性
  • IO复杂性
  • 结果质量（近似比、competitive ratio）
  • 通讯复杂性

 

二、亚线性算法概述

1.定义

时间/空间/IO/通讯/能量等消耗是o(输入规模)

亚线性时间算法

  • 性质检测算法
  • 亚线性时间近似算法

亚线性空间算法

  • 数据流算法

 

2.空间亚线性算法-水库抽样

输入：一组数据，其大小未知

输出：这组数据的k个均匀抽样

要求：

  • 仅扫描数据一次
  • 空间复杂性为O(k) 和抽样大小有关，和整个数据无关
  • 扫描到数据的前n个数字时（n>k），保存当前已扫描数据的k个均匀抽样

算法：

  • 申请一个长度为k的数组A保存抽样
  • 保存首先接收到的k个元素
  • 当接收到第i个新元素t时，以k/i的概率随机替换A中的元素（即生成[1, i]间随机数j，若k<=j，则以t替换A[j]

大数据算法(一)亚线性算法_第2张图片

3.时间亚线性计算算法-平面图直径

输入：m个顶点的平面图，任意两点之间的距离存储在矩阵D中，即点i到点j的距离为Dij

  • 输入大小是n=m的平方
  • 最大的Dij是图的直径
  • 点之间的距离对称且满足三角不等式

输出：该图的直径和距离最大的Dij

要求：运行时间为o(n)

算法：

动机：无法在要求的时间内得到精确算法，寻找近似算法

近似算法

  • 任意选择k<=m
  • 选择使得Dkl最大的l
  • 输出Dkl和(k, l)

近似比

Dij <= Dik+Dkj <= Dkl+Dk l<= 2Dkl 因而近似比为2

近似时间

 

 

4.近似算法 

什么是近似算法

  • 近似算法主要用来解决优化问题
  • 能够给出一个优化问题的近似优化解的算法

近似算法解的近似度

  • 问题的每一个可能的解都具有一个代价
  • 问题的优化解可能具有最大或最小代价
  • 我们希望寻找问题的一个误差最小的近似优化解

我们需要分析近似解代价与优化解代价的差距

  • Ratio Bound
    • 大数据算法(一)亚线性算法_第3张图片

       

       

  • 相对误差
  • (1-ε)-近似

5.时间亚线性判定算法-全0数组判定

输入：包含n个元素的0，1数组A

输出：A中的元素是否全是0

要求：运行时间为o(n)

判定问题的近似：

  • 无法在要求的时间内得到精确解，寻找近似解

                判定问题如何近似

  • 输入满足某种性质或者远非满足此性质

大数据算法(一)亚线性算法_第4张图片 大数据算法(一)亚线性算法_第5张图片

 

  •  ε-远离

            对于输入x，如果x到L中的任意字符串的汉明距离至少为ε|x|，则x是ε-远离L的

全0数组判定问题的近似

  • 是否A=00...0或者其包含1的个数大于 εn?

算法描述：

  • 在A中随机独立抽取s= 2/ε个位置上的元素
  • 检查抽样，若不包含1，则输出“是”，若包含1，则输出“否”

判定精确性分析

  • 如果A是全0数组，始终输出“是”
  • 如果A是 ε-远离的，

 

运行时间：O(s)

证据引理：

  • 如果一次测试以大于等于p的概率获得一个证据，那么s=2/p轮测试得到证据的概率大于等于2/3

判定算法的定义

大数据算法(一)亚线性算法_第6张图片

 

 

三、亚线性算法案例

 

 

 

 

 

 

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/aidata/p/11555808.html

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