Python入门习题（48）——NOIP普及练习题：质因数分解

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题目描述

已知正整数n是两个不同的质数的乘积，试求出两者中较大的那个质数。

输入
输入只有一行，包含一个正整数n。

输出
输出只有一行，包含一个正整数p，即较大的那个质数。

样例输入
21
样例输出
7

提示
【数据范围】
n <= 2*10⁹

来源/分类
NOIP普及

解题思路

1. 由于n的值达到10的9次方量级，因此以下做法是低效的，估计会超时。这一做法是：令p依次取3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …, $\sqrt{n}$，看p和q（=n / p）是否符合要求。
2. 假设p和q是一组解，有q=n/p，且有q > n，那么必有：p <= $\sqrt{n}$，q>= $\sqrt{n}$。
3. 解题思路是：
   （1）从小到大地，利用筛选法找出 $\sqrt{n}$内的全部质数p，存入prime_set。每找到一个质数p，如果n整除p,则把候选解 (p, q)追加到houxuan_list尾部，这里q = n / p。
   （2）从左到右遍历候选解列表houxuan_list，对于候选解(p, q)，如果q是质数，那么q就是题目要求的结果。
   （3）如何判断q是否是质数？答案是，让q依次除以prime_set中的每个质数，如果整除某个质数，那么不是；都不能整除，那么是质数。
4. 关于筛选法求质数（即素数）的做法，网上有大把的讲解，这里不予赘述。

参考答案

#num是质数吗
#prime_set里头保存了num的平方根内的全部素数
import math

def is_prime(num, prime_set):
    num_sqrt = int(math.sqrt(num))
    for p in prime_set:
        if num % p == 0:
            return False
    return True
#把i的奇数倍数（不大于n_sqrt)加入非质数集合not_prime_set
def add_not_prime_set(not_prime_set, i, n_sqrt):
    for m in range(3, n_sqrt + 1, 2):
        not_prime_set.add(m * i)

n = int(input())
if n % 2 == 0:
    print(n // 2)
else:
    n_sqrt = int(math.sqrt(n))
    #找出1到n_sqrt之间的质数和非质数
    not_prime_set = set()
    prime_set = set()
    houxuan_list = []  #保存候选解
    for i in range(3, n_sqrt + 1, 2):
        if i not in not_prime_set:
            prime_set.add(i)
            #把i的倍数加入not_prime_set
            add_not_prime_set(not_prime_set, i, n_sqrt)
            if n % i == 0:
                houxuan_list.append((i, n // i))

    for lessone, largerone in houxuan_list:
        if is_prime(largerone, prime_set):
            print(largerone)
            break

测试用例

1. n是偶数的情形
   样例输入
   1994
   样例输出
   997

2. n是奇数的情形。
   样例输入
   2991
   样例输出
   997

3. n是奇数的情形。n稍大一点。结果不是997。
   样例输入
   8767
   样例输出
   797

小结

1. 这道题要关注时间开销。对于n为10⁹的量级的题目，只能采用线性级别（即时间开销为O(n)）的算法。
2. 筛选法求质数比较常用，值得熟练掌握。