线性与二次判别分析

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二次判别分析Quadratic Discriminant Analysis(QDA)

与线性判别分析类似，二次判别分析是另外一种线性判别分析算法，二者拥有类似的算法特征，区别仅在于：当不同分类样本的协方差矩阵相同时，使用线性判别分析；当不同分类样本的协方差矩阵不同时，则应该使用二次判别。

为了清楚的了解LDA和QDA的应用差异，下图显示了在固定协方差矩阵以及不同协方差矩阵下LDA和QDA的表现差异：

由图中可以看出，在固定协方差矩阵下，LDA和QDA是没有分类结果差异的（上面两张图）；但在不同的协方差矩阵下，LDA和QDA的分类边界明显存在差异，而且LDA已经不能准确的划分数据（下面两张图）。

那么，协方差矩阵是什么？

在统计学中，有几个描述样本分布的基本指标，例如均值、方差、标准差、峰度、偏度、最大值、最小值、极值等，这些都描述的是一个维度；如果一个样本存在多个维度，除了可以单独描述每个维度的分布规律外，如何描述不同维度间的关系？

协方差就是用来描述维度间关系的一个指标。它的定义为：任意两个随机变量X和Y的协方差，记为Cov(X,Y)，定义为：

Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}

其中E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的均值。它反映的是任意两个随机变量（或者是任意两个维度） 间的关系：

• 当X取值不断增大时，Y也不断增大，此时Cov(X,Y)>0
• 当X取值不断减小时，Y也不断减小，此时Cov(X,Y)>0
• 当X取值不断增大时，Y也不断减小，此时Cov(X,Y)<0
• 当X取值不断减小时，Y也不断增大，此时Cov(X,Y)<0

总结X和Y之间的规律就是，当两个随机变量倾向于沿着相同趋势变化时为正协方差，反之则为负协方差。

但我们知道，不同维度间可能由于值本身存在量级的差异而导致结果的偏差，例如订单金额的单位可能是万元区间，而用户等级可能只是10以内的数字分布。为了消除这个差异性，需要对协方差进行标准化，而标准化后的指标即相关系数（通常用P表示），其矩阵被称为相关性矩阵。

相关系统P的基本意义如下：

• 当P>0时，X和Y呈正相关
• 当P<0时，X和Y呈负相关

那么，当P=0呢？难道意味着不相关？——当P=0时，意味着X和Y不存在线性相关关系，但可能存在其他相关关系。

注意：假设我们现在又3个维度，协方差只能显示任意2个维度的关系，如何把这3个维度显示在同时显示出来？——这时，就要用到矩阵，即协方差矩阵。

下面举例说明协方差和相关系数。 现在有一个观测数据集，其中包含三个维度（年龄、等级和购买金额），样本量为5，现在要对其求协方差和相关系数。

年龄	等级	购买金额
41	3	8,084
27	1	1,983
40	1	100
41	1	221
24	2	7,816

我们可以直接使用SPSS进行求解，得到以下结果：

结果反映出，年龄和等级之间的协方差是0.550，相关系数为0.073，年龄和购买金额之间的协防差是-11055.77，相关系数为-0.329。同样的，我们也可以直接读出其他任意维度和其他2个维度的协方差以及相关系数。

问题：如果A和B的相关系数P1为0.5，A和C的相关系数P2为-0.6，哪个相关性更高？大家可以留言。

回归本文的主体QDA，以下是Python的SKlearn的QDA进行二次判别分析。

 #coding:utf-8

 from sklearn import datasets
 from sklearn.qda import QDA
 iris = datasets.load_iris()
 X = iris.data[:-5]
 pre_x = iris.data[-5:]
 y = iris.target[:-5]
 clf = QDA()
 clf.fit(X, y)
 pre_y = clf.predict(pre_x)

 #预测目标分类结果
 print ('predict value:', pre_y)

其运行结果如下：

 ('predict value:', array([2, 2, 2, 2, 2]))

QDA可配置的参数包括：

 class sklearn.qda.QDA(priors=None, reg_param=0.0)

 

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尾巴

Python机器学习库中的QDA不具有LDA和PCA的降维功能，只能用来做分类预测，对于协方差的求解则很容易使用Numpy中的cov进行求解。