题目链接
\(Description\)
求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\]
答案对\(10^9+7\)取模。
\(n<=10^9\)
\(Solution\)
以前做的反演题都是\(j\)枚举到\(n\)，但是现在\(j\)只枚举到\(i\)就非常难受，考虑怎么求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\)。
可以把它看成是一个\(n*n\)的网格，第\(i\)行第\(j\)列上的数是\(\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\)，需要我们求的是包括对角线在内的下三角矩阵的权值和。
所以答案为(所有网格权值之和+对角线上的权值和)/2。
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\]
\[=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{ij}{d^2}[gcd(i,j)==d]\]
\[=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\]
考虑怎么求后半部分
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==1]\]
\[=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\sum_{d|gcd(i,j)}\mu_d\]
枚举\(d\)
\[=\sum_{d=1}^n\mu_d\sum_{d|i}^n\sum_{d|j}^nij\]
\[=\sum_{d=1}^n\mu_dd^2\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij\]
令\(sum(n)=\sum_{i=1}^ni\)，
所以原式
\[=\sum_{i=1}^n\mu_ii^2sum(n/i)^2\]
带回到一开始的式子里去
\[\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n/d}\mu_ii^2sum(\frac{n}{id})^2\]
按照套路令\(T=id\)
\[=\sum_{T=1}^nsum(n/T)^2\sum_{d|T}\mu_dd^2\]
令\(f(x)=\sum_{d|x}\mu_dd^2\)，现在如果我们可以快速的求出\(f(x)\)的前缀和，那么就可以数论分块算答案了。
可是\(f(x)\)并不是一个熟悉的数论函数，怎么才能用杜教筛呢？
可以把\(f(x)\)写成几个函数的卷积的形式。
令\(g(x)=\mu_xx^2\)。那么\(f=g*1\)。现在要找一个函数\(h\)使得\(f*h=g*1*h\)好算。我们知道\(\sum_{d|x}\mu_d=e\)，所以令\(h(x)=x^2\)来把\(g(x)中的乘x^2\)消掉。
所以就构造出了\(s=f*h=g*1*h=e*1=1\)，不难发现\(f\)是个积性函数，可以线筛。
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