杭电oj HDOJ 2063 过山车（匈牙利法 二分图 最大匹配）

杭电oj HDOJ 2063 过山车

题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

Problem Description

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，Grass只愿意和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？

Input

输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0 1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。

解题思路

本题是典型的求解“二分图的最大匹配”问题，解决这类问题的方法是“匈牙利法”。这类问题的相关概念有：https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E5%88%86%E5%9B%BE
接下来我用题中给出的“示范用例”说明具体的解题步骤：

1. 解题前一定要先存储“用例”中的“组合数据图”，由于本题的数据量不大，所以这里采用“邻接矩阵法”来存储图的数据，读者也可以自行编写其他方法的代码。$$combine=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$
2. 接着按照顺序让一号女生来先挑选组合的男生，挑选也按照顺序进行，所以一号女生挑选到了一号男生。
3. 轮到二号女生进行挑选，一开始看到了一号男生，此时一号男生已经被一号女生选走了，但是二号女生还是想选一号男生（算法需要），所以现在就看看能不能把已经选完的一号女生分配给其他男生，把一号男生留出来分配给此时在选的二号女生。所以组合方案就变为了一号女生与二号男生，二号女生与一号男生。
4. 然后三号女生开始挑选，同样的看到了已经分配给二号女生的一号男生，同样的三号女生也想选一号男生，同样这次看看能不能把二号女生分配给其他男生，二号女生的另一种组合意愿就是和三号男生，并且三号男生现在还没有被选，所以此时的组合方案就变为了一号女生和二号男生，二号女生和三号男生，三号女生和一号男生，就此组合完成，可以坐上过山车的最多组合数为3！

如果在上面的第4步中二号女生另一种组合意愿的男生也被之前的女生所选了怎么办？那么就让那个之前的女生更换她的组合方式，把男生让给二号女生，之前的女生如果在更换组合方式时又遇到“男生已被选”的情况，就继续向前更换组合方案，直到找到一个可行的方案，或女生已没有其他组合意愿为止

总结下来，本题的两个关键就是“拆组合”和“向前回溯”！

本人的C++解决方案

#include 
#include 
using namespace std;

bool find(int);
bool combine[501][501];
bool mark[501];					// 当前女生选择的这一轮中，男生有没有被选中过
int boy[501];					// 存储每个男生所组合的女生编号
int M, N;						// 依次为女生人数和男生人数

int main()
{
     
	int K, i, count;
	int Ai, Bj;
	while (cin >> K) {
     
		if (!K) {
     
			break;
		}
		cin >> M >> N;
		// 初始化“组合数组”
		for (i = 1; i < 501; i++) {
     
			memset(combine[i], 0, sizeof(combine[i]));
		}
		// 初始化“配对标号”数组
		memset(boy, 0, sizeof(boy));
		count = 0;
		for (i = 0; i < K; i++) {
     
			cin >> Ai >> Bj;
			combine[Ai][Bj] = 1;
		}
		for (i = 1; i <= M; i++) {
     
			// 每一轮都要初始化标记数组
			memset(mark, 0, sizeof(mark));
			if (find(i)) {
     
				count++;
			}
		}
		printf("%d\n", count);
	}
	return 0;
}

bool find(int n)
{
     
	int i;
	for (i = 1; i <= N; i++) {
     
		if (combine[n][i] && !mark[i]) {
     
			mark[i] = true;
			// 情况一：如果该男生还没有匹配到女生
			// 情况二：匹配到该男生的女生可以分配到另一个没有匹配的男生
			if (boy[i] == 0 || find(boy[i])) {
     
				boy[i] = n;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

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