CodeForces 900D-Unusual Sequences(快速幂，莫比乌斯反演)

CodeForces 900D-Unusual Sequences

题目原址

[http://codeforces.com/problemset/problem/900/D]

题意

有这样的序列 $a_1,a_2,a_3\cdot \cdot \cdot a_n$ 使得他们的和为 $y$ ，最大公因数为 $x$，问满足这样的序列有多少个。

题解

练习题里的题，我原来根本看不出是莫比乌斯反演。
显然对于每个 $a_i$ 都是 $x$ 的倍数，于是 $y$ 是 $x$ 的倍数。
如果不考虑最大公因数是 $x$ 这个条件的话，把每个 $a_i$ 都除以 $x$，就是纯粹的有序整数拆分问题，也就是 $2^{\frac{y}{x}-1}$。
但这显然是 ${\sum }_{d|\frac{y}{x}}[\gcd =d]$ 的情况数，所以我们要去掉 $\sum [\gcd ̸=1]$ 的情况，也就是 ${\sum }_{d|\frac{y}{x}}[\gcd =d\&\&d!=1]$ 的情况。
上面是一种思路，另一种思路就是莫比乌斯反演了，如果我们用 $f(n)$ 表示 ${\sum }_{n|\frac{y}{x}}[\gcd =n]$。
那么我们就是要求 $f(1)$，然后他的倍数和 $F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$ 就表示 ${\sum }_{n|\frac{y}{x}}[n|\gcd ]$ 的情况数了，也就是 $2^{\frac{\frac{y}{x}}{n}-1}$ 种情况，所以我们也直接枚举莫比乌斯函数值不为0的约数就可以了。

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
const int mod=1e9+7;
int yue[maxn],numy,n;
ll ans;
ll power(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void dfs(int len,int mu,ll s){
    if(len>numy){
        ans=((ans+(ll)mu*power(2,n/s-1))%mod+mod)%mod;
        return;
    }
    dfs(len+1,mu,s);
    dfs(len+1,-mu,s*yue[len]);
}
int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif // LOCAL
    ios::sync_with_stdio(false);
    int x,y;
    while(cin>>x>>y){
        if(y%x){
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        numy=0;ans=0;
        n=y/x;int tmp=n;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            if(n%i==0){
                yue[++numy]=i;
                while(n%i==0)
                    n/=i;
            }
        n=tmp;
        dfs(1,1,1);
        cout<<ans<<endl;
    }
}