LeetCode题解：求两个数的最大公约数
求两个数的最大公约数
- 暴力枚举法
- 辗转相除法
- 更相减损法
- 更相减损法与移位相结合
- 四种方法对比
- 代码：
暴力枚举法
原理：从较小整数的一半开始，试图找到一个合适的整数i,看这个整数是否被a和b同时整除
缺点：如果传入的整数数值很大但是相差很小，则计算的循环次数会很大，时间复杂度相对较高
辗转相除法
原理：两个正整数a 和 b（a>b）,他们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数
-
例如：
10和25,
25/10 = 2 ----5
那么10和25的最大公约数，等同于 10 和 5 的最大公约数 -
把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止
缺点：当两个整数较大时，做a%b取模运算的性能会比较差
更相减损法
原理：两个正整数a和b(a>b),他们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数
- 例如：
10和25,
25 - 10 = 15
那么10和25的最大公约数，等同于 10 和 15 的最大公约数 - 把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的这两个数的值
缺点：更相减损法依靠两数求差的方式递归，运算次数远大于辗转相除法的取模运算
当两数相差悬殊时，如计算1000和1的最大公约数则要计算999次
更相减损法与移位相结合
原理：
当a和b都是偶数的时候，gcb(a,b) = 2gcb(a/2,b/2) = 2gb(a>>1,b>>1)
当a是偶数,b是奇数的时候，gcb(a,b) = gcb(a/2,b) = 2gb(a>>1,b)
当a是奇数，b是偶数的时候，gcb(a,b) = gcb(a,b/2) = 2gb(a,b>>1)
当a和b都是奇数的时候，先利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b,a-b),此时a-b必然是偶数，可以继续移位运算
- 判断整数就行的方法是让整数和1进行与运算，如果(a&1)==0,则说明整数a是偶数，如果(a&1)!=0,则说明整数a是奇数
四种方法对比
暴力枚举法：时间复杂度O(min(a,b))
辗转相除法：时间复杂度O(log(max(a,b)))，但是取模运算性能比较差
更相减损法：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a,b))
更相减损法与移位相结合：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log（max(a,b)）)
代码：
package some_problem;/**
* Copyright (C), 2019-2020
* author candy_chen
* date 2020/7/19 22:12
* version 1.0
* Description: 求两个整数的最大公约数
*/
/**
*
*/
public class GreatestCommonDivisor {
/**
* 普通暴力枚举解法求最大公约数
*
* 从较小整数的一半开始，试图找到一个合适的整数i,看这个整数是否被a和b同时整除
* @param a
* @param b
* @return
*/
public static int getGreatestCommonDivisor(int a,int b){
int big = a>b?a:b;
int small = a<b?a:b;
if (big%small == 0){
return small;
}
for (int i=small/2;i>1;i--){
if (small%i==0 && big%i==0){
return i;
//这个整数 i 从2开始循环累加，一直累加到numberA和numberB中较小参数的一半为止。
//循环结束后，上一次寻找到的能够被两数整除的最大 i 值，就是两数的最大公约数。
}
}
return 1;
}
/**
* 辗转相除法
*
* 两个正整数a 和 b（a>b）,他们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数
* 把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止
*
* @param a
* @param b
* @return
*/
public static int getGreatestCommonDivisorV2(int a,int b){
int big = a>b?a:b;
int small = a<b?a:b;
if (big%small == 0){
return small;
}
return getGreatestCommonDivisorV2(big%small,small);
}
/**
* 更相减损法
* 两个正整数a和b(a>b),他们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数
* 把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的这两个数的值
* @param a
* @param b
* @return
*/
public static int getGreatestCommonDivisorV3(int a,int b){
if (a == b){
return a;
}
int big = a>b?a:b;
int small = a<b?a:b;
return getGreatestCommonDivisorV3(big-small,small);
}
/**
* 移位运算
*
* 当a和b都是偶数的时候，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2,b/2) = 2*gb(a>>1,b>>1)
* 当a是偶数,b是奇数的时候，gcb(a,b) = gcb(a/2,b) = 2*gb(a>>1,b)
* 当a是奇数，b是偶数的时候，gcb(a,b) = gcb(a,b/2) = 2*gb(a,b>>1)
* 当a和b都是奇数的时候，先利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b,a-b),此时a-b必然是偶数，可以继续移位运算
*
* 判断整数就行的方法是让整数和1进行与运算，如果(a&1)==0,则说明整数a是偶数，如果(a&1)!=0,则说明整数a是奇数
* @param a
* @param b
* @return
*/
public static int getGreatestCommonDivisorV4(int a,int b){
if (a == b){
return a;
}
if ((a&1)==0 && (b&1) == 0){
return getGreatestCommonDivisorV4(a>>1,b>>1)<<1;
}else if ((a&1)==0 && (b&1) != 0){
return getGreatestCommonDivisorV4(a>>1,b);
}else if ((a&1)!=0 && (b&1) == 0){
return getGreatestCommonDivisorV4(a,b>>1);
}else{
int big = a>b ? a:b;
int small = a<b ? a:b;
return getGreatestCommonDivisorV4(big-small,small);
}
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(getGreatestCommonDivisor(25,5));
System.out.println(getGreatestCommonDivisor(100,80));
System.out.println(getGreatestCommonDivisor(27,14));
}
}
说明：作者根据网络资料《漫画算法》进行搜索学习，理解整理 若有侵权联系作者