整数分区（求将整数拆分成任意个数正整数的方法个数）codewars 爆炸求和

依旧是codewars上面的题目，献上链接
codewars 爆炸总和

整数分区

整数n的分区是正整数（不一定是不同的）的无序集合，其加起来为n。这种分区的数量通常表示为p（n）。函数p称为分区函数，其值列表如下。这从p（0）= 1开始，因为只有一个正整数的集合，其总和为零（即空集合）。

   n：p（n）
   0：1        
   1：1        //1
   2：2        //1+1      2
   3：3        //1+1+1  1+2+1    3
   4：5        //1+1+1+1  1+1+2    3+1   2+2    4
   5：7        //1+1+1+1+1  1+1+1+2    1+1+3   1+2+2    4+1    2+3   5
   6：11       //1+1+1+1+1+1  1+1+1+1+2    1+1+1+3   1+ 1+2+2    1+1+4    1+2+3   1+5  2+2+2  2+4   3+3  6
   ...

数学规律

在写代码之前应该先搞懂数学分区的数学规律。

假设将n进行分区，通过规律我们可以知道n各分区中包含n-1的分区加上1，整理之后得出以下规律：

p(n) = p(n-1)
+p(n-2) - p(n-2)中有“+1”的分区方法
+p(n-3) - p(n-3)中有“+1”的分区方法 - p(n-3)中有“+2”的分区方法
…
直到 n-i < i

p(n)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	3	5	7	11	15	22	30	42

w[i][n]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	规律
+0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
+1	0	1	2	3	5	7	11	15	22	30	p（n-1）
+2	0	0	0	1	1	2	2	4	4	7	w[i-1][n-1]-w[i-1][n-2]
+3	0	0	0	0	0	1	1	1	2	2	w[i-1][n-1]-w[i-1][n-3]
+4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	w[i-1][n-1]-w[i-1][n-4]
+5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	w[i-1][n-1]-w[i-1][n-5]
…
+i											w[i-1][n-1]-w[i-1][n-i]

则
$$p(n)=\sum w[i][n](0\le i\le (n+1)/2)$$
找出规律之后我们就可以写代码了

代码架构

可以看出解决整数分区最重要的两个函数一个是计算p(n)的求和公式，一个是计算w[n][i]的函数。

//p（n）加和函数
using ull = unsigned long long;
ull exp_sum(ull n)
{
	ull num = 0;
	for (ull i = 0; i <= n/ 2; i++)//当i>n/2,w[n][i]=0
	{
		num += cal_w(n, i);
	}
	sum_vec.push_back(num);	
	return num;
}

//w[n][i]的计算函数
ull cal_w(ull n, ull i)
{
    if (n==0||i==0)
	{
	    return 1;
	}
	if (i==1)
	{
	    return sum_vec[n - 1];
	}
	if (i>n/2)
	{
		return 0;
	}
	return add(n - 1, i - 1) - add(n - i, i - 1);
};

在页面上提交的时候发现有超时，那么说明要改数据结构了。
解决函数运行性能，常常用内存换运行时间，也就是将以前计算过得数据存储出来，方便使用。
加入两个容器：

vectorp{1,1,2};
vector>w{ {0},{1},{1,1} };

代码更改如下：

//前向声明

ull exp_sum(ull n);
ull cal_w(ull n, ull i);

//w[n][i]的计算函数
ull cal_w(ull n, ull i)
{
	if (n>=w.size())//如果w中没有n的相关加和数据，先进行w[n]的计算
	{
		w.push_back(vector<ull>(n, 0));
		w.back()[0] = 1;
		w.back()[1] = p[n - 1];
		for (ull i = 2; i <= n / 2; i++)
		{
			w.back()[i]= cal_w(n - 1, i - 1) - cal_w(n - i, i - 1);
		}

	}
	if (i>=w[n].size()&&i>n/2)
	{
		return 0;
	}
	return w[n][i];//返回w[n][i]
};

//p（n）加和函数
ull exp_sum(ull n)
{
	while (n>=p.size())
	{
		ull num = 0;
		for (ull i = 0; i <= p.size()/ 2; i++)//p[n]不存在时，先将n以及n以前的所有数据补齐
		{
			num += cal_w(p.size(), i);
		}
		p.push_back(num);
	}
	return p[n];
}

然后问题就完美解决了

贴上整数分区的值列表，可以用来调试

整数分区