博弈论 相关

 

巴什博弈：有一堆n个石子，每次每个人能取[1,m]个石子，不能拿的人输，请问先手与后手谁必败。

当n=m+1时，由于一次最多只能取m个，所以无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜，所以当一方面对的局势是n%(m+1)=0时，其面临的是必败的局势。所以当n=（m+1)*r+s，（r为任意自然数，s≤m)时,如果先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走x（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

尼姆博弈：有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，每次最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。
结论就是：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么后手胜，否则先手胜

反尼姆博弈结论：n堆物品，全部异或结果为ans，统计富裕堆的个数为c；
先手胜有两种情况：
第一，ans=0且c<2；
第二，ans为真且c为真；

 

 

阶梯博弈等价于奇数堆的nim博弈
（ps:博弈棋子移动问题，两两相邻一般是奇异局势。（相邻的距离可看作是奇数堆的石子个数，而其他距离的则是偶数堆的石子个数，这样就可以转化为阶梯博弈，即奇数堆的nim博弈））