博弈论 相关

 

巴什博弈:有一堆n个石子,每次每个人能取[1,m]个石子,不能拿的人输,请问先手与后手谁必败。

当n=m+1时,由于一次最多只能取m个,所以无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜,所以当一方面对的局势是n%(m+1)=0时,其面临的是必败的局势。所以当n=(m+1)*r+s,(r为任意自然数,s≤m)时,如果先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走x(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。

尼姆博弈:有任意堆物品,每堆物品的个数是任意的,双方轮流从中取物品,每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品,每次最少取一件,取到最后一件物品的人获胜。
结论就是:把每堆物品数全部异或起来,如果得到的值为0,那么后手胜,否则先手胜

反尼姆博弈结论:n堆物品,全部异或结果为ans,统计富裕堆的个数为c;
先手胜有两种情况:
第一,ans=0且c<2;
第二,ans为真且c为真;

 

 

阶梯博弈等价于奇数堆的nim博弈
(ps:博弈棋子移动问题,两两相邻一般是奇异局势。(相邻的距离可看作是奇数堆的石子个数,而其他距离的则是偶数堆的石子个数,这样就可以转化为阶梯博弈,即奇数堆的nim博弈))博弈论 相关_第1张图片

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