[剑指offer]面试题第[60]题[JAVA][n个骰子的点数][动态规划][空间优化]

【问题描述】[中等]

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。


你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。


示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]
 

限制：

1 <= n <= 11

【解答思路】

动态规划

第 1 步：设计状态
n个骰子，每个骰子6个面，总情况数为6^n
F(n,s)F(n,s)为当骰子数为n，和为s的情况数量
第 2 步：状态转移方程

第 3 步：考虑初始化
int [][]dp = new int[n+1][6*n+1];

第 4 步：考虑输出
(double)dp[n][i])/Math.pow((double)6,(double)n);
第 5 步：考虑是否可以状态压缩
是
时间复杂度：O(N^2) 空间复杂度：O(1)

class Solution {
     
    public double[] twoSum(int n) {
     
        int [][]dp = new int[n+1][6*n+1];
        //边界条件
        for(int s=1;s<=6;s++)dp[1][s]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
     
            for(int s=i;s<=6*i;s++){
     
                //求dp[i][s]
                for(int d=1;d<=6;d++){
     
                //dp[i-1][s-d] i-1表示骰子数为 i-1 时点数和为 s-d 的次数，筛子数为 i-1 时，最小的点数和为 1 * (i - 1), 最大的点数和为 6 * (i -1)，所以 s-d >= i-1, 如果 s-d
                    if(s-d<i-1)break;//为0了
                    dp[i][s]+=dp[i-1][s-d];
                }
            }
        }
        double total = Math.pow((double)6,(double)n);
        double[] ans = new double[5*n+1];
        for(int i=n;i<=6*n;i++){
     
            ans[i-n]=((double)dp[n][i])/total;
        }
        return ans;
    }
}

空间优化
每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态有关，因此我们不需要用额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态，然后对下一个阶段可能出现的点数 j 从大到小遍历，实现一个阶段到下一阶段的转换。

public double[] twoSum(int n) {
     
        int []dp = new int[6*n+1];
        //边界条件
        for(int s=1;s<=6;s++)dp[s]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
     
            for(int j=i*6;j>=i;j--){
     
                dp[j] = 0;
                for(int d=1;d<=6;d++){
     
                    if(j-d<i-1)break;
                    dp[j]+=dp[j-d];
                }
            }
        }
        double total = Math.pow((double)6,(double)n);
        double[] ans = new double[5*n+1];
        for(int i=n;i<=6*n;i++){
     
            ans[i-n]=((double)dp[i])/total;
        }
        return ans;
    }

【总结】

1. 动态规划流程

第 1 步：设计状态
第 2 步：状态转移方程
第 3 步：考虑初始化
第 4 步：考虑输出
第 5 步：考虑是否可以状态压缩

2. 动态规划牛逼 概率题活生生变成动态规划

参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/nge-tou-zi-de-dian-shu-dong-tai-gui-hua-ji-qi-yo-3/
参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/dong-tai-gui-hua-by-shy-14/