数据结构与算法一：算法的引入与复杂度分析

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数据结构与算法是基本功！！！

程序=数据结构+算法

一. 算法的概念及特征

算法是一种解决问题的方法和思想。算法的五大特征：

• 输入
• 输出
• 有穷性
• 确定性
• 可行性

二. 算法的效率衡量

• 时间复杂度：就是指执行一个算法的基本步骤，用大O记法衡量。

最坏时间复杂度：提供一种保证，表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成。

                            一般说一个算法的时间复杂度都是指最坏情况下的时间复杂度。

最优时间复杂度：意义不大，因为指的是最优情况下的时间复杂度，只是特殊的某个情况

平均时间复杂度：

• 空间复杂度

三. 时间复杂度的几条基本计算规则

• 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
• 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
• 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
• 分支结构，时间复杂度取最大值
• 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
• 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

时间复杂度比较：

O(1)

图片来源：https://my.oschina.net/pokdars/blog/819327

python list 内置操作的时间复杂度
操作	时间复杂度
index	O(1)
append	O(1)
pop	O(1)
pop(i)	O(n)
insert(i,item)	O(n)
reverse()	O(n)
sort()	O(nlogn)
slice [x:y]	切片, 获取x, y为O(1), 获取x,y 中间的值为O(k)
python dict  内置操作的时间复杂度
操作	时间复杂度
get (key)	O(1)
delete (key)	O(1)
copy	O(n)

 

 

四. 数据结构

数据结构大致分成：线性结构和非线性结构

线性结构包括线性表，字符串，栈，队列等

 

I. 线性结构

1. 线性表（全名为线性存储结构）

使用线性表存储数据的方式可以这样理解，即“把所有数据用一根线儿串起来，再存储到物理空间中”.。

线性表用于存储逻辑关系为“一对一”的数据。

线性表包括顺序表和链表。

1.1. 顺序存储结构（简称顺序表）：

将数据依次存储在连续的整块物理空间中的存储结构；

顺序表的操作：

• 插入

a. 在尾端加入元素：时间复杂度为O(1)

b. 非保序的加入元素（不常见）：时间复杂度为O(1)

c. 保序的元素加入：时间复杂度为O(n)

• 删除

a. 删除表尾元素，时间复杂度为O(1)

b. 非保序的元素删除（不常见），时间复杂度为O(1)

c. 保序的元素删除，时间复杂度为O(n)

• Python中的顺序表

Python中的list和tuple两种类型采用了顺序表的实现技术，具有前面讨论的顺序表的所有性质。

tuple是不可变类型，即不变的顺序表，因此不支持改变其内部状态的任何操作，而其他方面，则与list的性质类似。

• list的基本实现技术

Python标准类型list就是一种元素个数可变的线性表，可以加入和删除元素，并在各种操作中维持已有元素的顺序（即保序），而且还具有以下行为特征：

• 基于下标（位置）的高效元素访问和更新，时间复杂度应该是O(1)；为满足该特征，应该采用顺序表技术，表中元素保存在一块连续的存储区中。
• 允许任意加入元素，而且在不断加入元素的过程中，表对象的标识（函数id得到的值）不变。为满足该特征，就必须能更换元素存储区，并且为保证更换存储区时list对象的标识id不变，只能采用分离式实现技术。

在Python的官方实现中，list就是一种采用分离式技术实现的动态顺序表。这就是为什么用list.append(x) （或 list.insert(len(list), x)，即尾部插入）比在指定位置插入元素效率高的原因。

在Python的官方实现中，list实现采用了如下的策略：在建立空表（或者很小的表）时，系统分配一块能容纳8个元素的存储区；在执行插入操作（insert或append）时，如果元素存储区满就换一块4倍大的存储区。但如果此时的表已经很大（目前的阀值为50000），则改变策略，采用加一倍的方法。引入这种改变策略的方式，是为了避免出现过多空闲的存储位置。

1.2. 链式存储结构（简称链表）：

数据分散的存储在物理空间中，通过一根线保存着它们之间的逻辑关系的存储结构。每个数据元素在存储时都配备一个指针，用于指向自己的直接后继元素。

在每一个节点（数据存储单元）里存放下一个节点的位置信息（即地址）。

 

2. 栈 

同顺序表和链表一样，栈也是用来存储逻辑关系为 "一对一" 数据的线性存储结构。

栈（stack），有些地方称为堆栈，是一种容器，可存入数据元素、访问元素、删除元素，它的特点在于只能允许在容器的一端（称为栈顶端指标，英语：top）进行加入数据（英语：push）和输出数据（英语：pop）的运算。没有了位置概念，保证任何时候可以访问、删除的元素都是此前最后存入的那个元素，确定了一种默认的访问顺序。

由于栈数据结构只允许在一端进行操作，因而按照后进先出（LIFO, Last In First Out）的原理运作。

图片来源：https://blog.51cto.com/9291927/2063393?source=drt

栈的应用

栈具有先进后出的特性，适用于检测就近匹配的成对出现的符号。
符号匹配问题
从第一个字符开始扫描，遇到普通字符时忽略，遇到左符号时压入栈，遇到右符号时弹出栈顶元素进行匹配。如果匹配成功，所有字符扫描完毕并且栈为空；如果匹配失败，所有字符扫描完成但栈非空。

 

3. 队列

队列（queue）是只允许在一端进行插入操作，而在另一端进行删除操作的线性表。

队列是一种先进先出的（First In First Out）的线性表，简称FIFO。允许插入的一端为队尾，允许删除的一端为队头。队列不允许在中间部位进行操作！假设队列是q=（a1，a2，……，an），那么a1就是队头元素，而an是队尾元素。这样我们就可以删除时，总是从a1开始，而插入时，总是在队列最后。这也比较符合我们通常生活中的习惯，排在第一个的优先出列，最后来的当然排在队伍最后。

 

图片来源：http://data.biancheng.net/view/10.html

 

II. 非线性结构：

1. 树

包括普通树，二叉树，线索二叉树等；

图片来源：https://www.cnblogs.com/QG-whz/p/5168620.html

 

2. 图Graph

多对多的关系

 

图片来源：https://segmentfault.com/a/1190000010794621

 

 

参考资料： 黑马程序员/传智播客