分数化小数 计蒜客(无限循环小数 循环节 欧拉函数 欧拉定理 十进制)

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分数化小数

题目描述

对于一个分数（不一定是最简形式），给出它的小数形式，如果小数有循环节的话，把循环节放在一对圆括号中.
例如，1/4 =0.25,1/3=0.3333写成0.(3)，1/7= 0.142857142857...写成0.(142857)。如果结果是一种整数xxx，则用xxx.0 等表示整数xxx。
输入包括一行，包括被空格分隔开的分子N和分母D（第一个是N，第二个是D）。
输出包括一行，为转换后的小数形式。

输入样例

45 56

输出样例

0.803(571428)

题目解释

题目中需要求一个 分数 的小数，如果是无限循环小数，则输出 0.xxx(xxx) 的格式。
因此我们考虑，先求出这个小数的 循环起始点(S) 和 循环长度(T)。

我们举个栗子。对于 $x=\frac{45}{56}$ 这种情况。
我们考虑先对 $x\ast 10$ 即： $\frac{45}{56},\frac{450}{56},\frac{4500}{56},\frac{45000}{56}\cdots$
然后我们将这些分数的分子进行 $mod56$ 操作， 即：$$\frac{45}{56},\frac{2}{56},\frac{20}{56},\frac{32}{56},\frac{40}{56},\frac{8}{56},\frac{24}{56},\frac{16}{56},\frac{48}{56},\frac{32}{56},\frac{40}{56}\cdots$$
我们可以明显的发现当操作进行到第 10 次的时候和第 4 次重复了，显然已经形成了一个长度为 6 的循环节，即从第 4 项开始循环。

由此我们可以推广到更一般的情况。假设分数为 $\frac{p}{q}$ ，由于小数部分和整数无关，因此我们可以假设这个分数为真分数。不妨假设$p<q$。

由上可知，我们可以把第 $k+1$ 个分数写成$$\frac{p\ast 10^{k}modq}{q}$$
因此我们可以假设第 $i$ 个分数和第 $j$ 个分数相等，即构成了一个循环节。有$$\frac{p\ast 10^{i-1}modq}{q}=\frac{p\ast 10^{j-1}modq}{q}$$
两边同乘 $10$ ，得$$\frac{p\ast 10^{i}modq}{q}=\frac{p\ast 10^{j}modq}{q}$$
即$$p\ast 10^j\equiv p\ast 10^i(modq)(i<j)$$
又可表示为$$p\ast 10^j=p\ast 10^i+q\ast k$$
令$g=gcd(p,q)$，设$p=p^{\prime }\ast g,q=q^{\prime }\ast g$。即$$p^{\prime }\ast 10^j-p^{\prime }\ast 10^i=q^{\prime }\ast k$$
即$$p^{\prime }(10^j-10^i)=q^{\prime }\ast k\to p^{\prime }\ast 10^i(10^{j-i}-1)=q^{\prime }k$$
由此可知$$q^{\prime }|10^i(10^{j-i}-1)p^{\prime }$$
因为 $p^{\prime }$ 和 $q^{\prime }$ 互质，因此可得$q^{\prime }|10^i(10^{j-i}-1)$。
而 $10^i$ 为偶数，且和 $q^{\prime }$ 有公因数。
而 $(10^{j-i}-1)$ 为奇数，显然不可能存在和 $q^{\prime }$ 的公因数，因此 $q^{\prime }$ 和 $(10^{j-i}-1)$ 互质。
显然 $i$ 由 $10^i$ 和 $q^{\prime }$ 共同决定，又知 $10^i$ 和 $q^{\prime }$ 的公因数由 $2$ 和 $5$ 贡献。
因此 $i=max(n,m)$，$n$ 为 $q^{\prime }$中贡献的 $2$ 的个数， $m$ 为 $q^{\prime }$中贡献的 $5$ 的个数。

接下来需要求循环节 $T=j-i$。

设 $$q^{\prime \prime }=\frac{q^{\prime }}{2^n\ast 5^m}$$
经过一番计算，上式 $q^{\prime }|10^i(10^{j-i}-1)$ 已经变成了$$q^{\prime }|2^n{5}^m(10^{j-i}-1)\ast \frac{10^i}{2^n{5}^m}$$
即$$q^{\prime \prime }|(10^{j-i}-1)\ast \frac{10^i}{2^n{5}^m}$$
又知 $q^{\prime \prime }$ 与 $\frac{10^i}{2^n{5}^m}$ 互质，且由上文可知 $q^{\prime }$ 和 $(10^{j-i}-1)$ 互质可知 $q^{\prime }$ 和 $(10^{j-i}-1)$ 也互质。
只需要解出 $j-i$ 就是我们无限循环小数中的循环节了。即
$$10^{j-i}\equiv 1(mod{q}^{\prime \prime })$$
不妨假设 $x=j-i$，即解$$10^x\equiv 1(mod{q}^{\prime \prime })$$
由欧拉定理可知，存在最小的 $10^x\equiv 1(mod{q}^{\prime \prime })$ ，当 $x$ 是 $\phi (q^{\prime \prime })$ 的一个因子。
因此我们只需要去枚举所有 $\phi (q^{\prime \prime })$ 的因子，从而找到一个最小的 $x$，使得 $10^x\equiv 1(mod{q}^{\prime \prime })$。

此时解出的 $i$ 就是循环节开始的前一位，$x$ 即 $j-i$ 为循环节的长度。
接下来的任务只需要模拟乘法，按照题目要求输出即可。

但是非常悲伤的事情是，队友暴力模拟 A 了。

代码

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
LL p, q, S, T, Z;

LL Euler(LL x) {
  LL ans = x;
  for (LL i = 2; i * i <= x; i++) {
    if (x % i == 0) {
      ans = (ans/i) * (i - 1);
      while (x % i == 0) x /= i;
    }
  }
  if (x > 1) ans = (ans/x) * (x - 1);
  return ans;
}

LL power(LL a, LL x, LL mod) {
  LL ans = 1;
  while (x) {
    if (x & 1) ans = (ans * a)%mod;
    a = (a * a)%mod;
    x >>= 1;
  }
  return ans;
}

LL gcd(LL a, LL b) {
  return b == 0? a:gcd(b, a%b);
}

LL get_first(LL &x) {
  LL ans1 = 0, ans2 = 0;
  while (x % 2 == 0) {
    x /= 2;
    ans1++;
  }
  while (x % 5 == 0) {
    x /= 5;
    ans2++;
  }
  return max(ans1, ans2);
}

LL get_T(LL x, LL mod) {
  LL Min = 1e18;
  for (LL i = 1; i * i <= x; i++) {
    if (x % i == 0) {
      if (power(10, i, mod) == 1) {Min = min(Min, i); break;}
      if (power(10, x/i, mod) == 1) Min = min(Min, x/i);
    }
  }
  return Min;
}

void print(LL p, LL q, LL S, LL T) {
  printf("%lld.", p/q);
  p -= q * (p/q);
  for (int i = 0; i < S + T; i++) {
    if (i == S) printf("(");
    p *= 10;
    printf("%lld", p/q);
    p -= q * (p/q);
    if (p == 0) break;
    if (i == S + T - 1) printf(")");
  }
  printf("\n");
}

int main()
{
  while (scanf("%lld %lld", &p, &q) != EOF) {
    LL a = p, b = q;
    LL g = gcd(p, q);
    p /= g, q /= g;

    S = get_first(q);
    LL phi = Euler(q);
    T = get_T(phi, q);
    
    if (T == 1e18) S = T;
    print(a, b, S, T);
  }

  return 0;
}