《编程之美》2.21 只考加法的面试题

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问题1. 写一个程序，对于一个64位正整数，输出它所有可能的连续自然数（两个以上）之和的算式；

问题2. 例如32就找不到这样的表达，这样的数字有什么规律？

问题3. 在64位正整数中，子序列数目最多的是哪一个？能否用数学知识推导出来？

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解答1. 首先分析，

 

对于正整数N，如果表示成2个连续自然数相加，N = m + (m + 1) = 2m + 1，则N为奇数；

如果表示成3个连续的自然数相加，N = (m - 1) + m + (m + 1) = 3m，则N为3的倍数；

如果表示成4个连续的自然数相加，N = (m - 1) + m + (m + 1) + (m + 2) = 2 * (2m + 1)，则N为某奇数的2倍；

如果表示成5个连续的自然数相加，……，则N为5的倍数；

如果表示成5个连续的自然数相加，……，则N为某奇数的3倍；

……

 

已经找到规律了：对于N，

如果表示成偶数个(2 * k) 连续的自然数相加，      则N为k的倍数；

如果表示成奇数个(2 * k + 1)连续的自然数相加， 则N为(2 * k + 1)的倍数。

 

这样程序就好写啦：

 

 #include #include #include bool AddSubN(__int64 N) { if(N < 3) { printf("No sequences fit N./n"); return false; } bool bFind = false; int num = 0; printf("/n %I64d ./n", N); __int64 maxLoop = sqrt(2 * N); //当N = 1 + 2 + ... + m = m * (m + 1) / 2时的序列长度最大， //所以maxLoop比这个小 //注意：这里可能得用大整数开方，我懒得写了 __int64 i, j, testN; // 看N是否能被表达成 i 个连续自然数之和 for(i = 2; i <= maxLoop; i ++) { if(!(i & 0x1)) //如果 i 是偶数，则N为 i/2 的倍数，且 N /(i/2) 为奇数； { if((!(N % (i >> 1))) && ((N / (i >> 1))) & 1) { __int64 sub0 = (N / (i >> 1) - 1) / 2; // i 个数中，中间偏左的一个 sub0 -= i / 2 - 1; // i 个数中最左边的一个 testN = 0; for(j = 0; j < i; j ++) testN += sub0 + j; //打印出来，测试是否跟输入的N一样 printf("/n %I64d = ", N, testN); //打印连续自然数序列 for(j = 0; j < i - 1; j ++) printf("%I64d + ", sub0 + j); printf("%I64d ./n", sub0 + j); if(!bFind) bFind = true; num ++; } } else // 如果 i 是奇数，则N为 i 的倍数 { if(!(N % i)) { __int64 sub0 = N / i; sub0 -= i / 2; //找到i个数中最左边的一个 testN = 0; for(j = 0; j < i; j ++) testN += sub0 + j; //打印出来，测试是否跟输入的N一样 printf("/n %I64d = ", N, testN); //打印连续自然数序列 for(j = 0; j < i - 1; j ++) printf("%I64d + ", sub0 + j); printf("%I64d ./n", sub0 + j); if(!bFind) bFind = true; num ++; } } } if(!bFind) { printf("No sequences fit N./n"); return false; } printf("/n---------------/n %d sequences fit N found ./n", num); return true; } void main() { __int64 N = 3; while(N >= 1) { printf("Please input a int64 number. (input 0 or -1 to escape)/n"); scanf("%I64d", &N); system("cls"); AddSubN(N); printf("/n/n/n"); system("pause"); system("cls"); } }

 

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解答2. 从分析中可以看出，N的因式分解必然要有奇数。证明如下：

 

 a. 首先证明，只要N的因式分解中有奇数，N就能表示为自然数连和。

     如果N的因式分解中有奇数，假设为s，且N= k * s，

     如果k > s/2，

     则 N可以表示为这个序列的和：k - (s / 2), k - (s / 2) + 1 ... k + (s / 2);

     例如 54 = 6 x 9, 可表示为 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10；（6 x 9，偶数为6，则6在这9个自然数的序列的中间）

   

     如果 k < s/2，

     则N可以表示为这个序列的和：(s + 1)/2 - k, (s+1)/2 - k + 1,..., (s + 1)/2 + k - 1;

     如54 = 2 x 27，则可表示为 12 + 13 + 14 + 15；（中间两个数 13 + 14 = 27）

 

 b. 再证明：如果N的因式分解中没有奇数，则N不能表示成连和的形式。

 

     反证：如果能，假设N能表示成k个自然数的连和。

     如果k为偶数，设这k个数的中数（中间偏左的一个）为m，将这k个数收尾相加得到k/2个自然数的序列，

     易证这k/2个自然数都等于2m+1，

     那么N = (2m + 1) * k / 2，与N的因式分解中没有奇数矛盾；

 

     如果k为奇数，设中数为n，那么N = k * n，与N的因式分解中没有奇数矛盾。

 

     综上，得证。

 

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解答3.

从2的推导过程中想到，将N表达成X*Y的形式，Y为奇数（X可以为1），这种表达形式越多，N的连和序列就越多。

这样，将N分解为质因子，例如150 = 2 * 3 * 5 * 5，找到其中所有的奇数，这些奇数能构成的组合数就是N的连和数。

如3，5，5能构成3；5；3*5；5*5；3*5*5，共5种，所以N的连和数也是5个。经验证，正确，嘿嘿。

 

再进一步想，已经知道N的质因子分解情况，怎么计算有多少个序列？

 

例如3*5，有3，5，3*5，共3种；

而3*3*5，上面已经说过，共5中；

3*3*3*5，有3，3*3，3*3*3，5，3*5，3*3*5，3*3*3*5，共7种……

 

总结得到：

假设N的质因子分解中有k种奇数（不是k个）记为odd[1,..,k]，odd[i]有n[i]个，那么N能表示的序列数为：

 

    Ns = (n[0] + 1) * (n[2] + 1) * (n[3] + 1) * ... * (n[k] + 1) - 1

 

验证：3*3*3*3*5*5*7*7*7 = 694575，我用程序打印，输出了59个。

这里有4个3，2个5，3个7，(4+1)*(2+1)*(3+1) - 1 = 60 - 1 = 59，验证成功。而694575乘以2的任意幂次方，所得结果都是59.

 

 我这没有想到严格的逻辑证明这个思路得到的结果是正确的，呵呵。

 

接下来就可以思考第三题了：在64位正整数中，子序列数目最多的是哪一个？

已经知道，要求的就是要让子序列数目最多Ns最多，但是64位正整数中“最”多的是谁？首先是一个很大的奇数^^。

 

这里我又做一个实验：

3*5*7*13 = 1365，分解出的连和15个；

3*3*5*5*7 = 1575，有17个，

3*3*3*3*3*7 = 1701， 有11个；

 

到底哪种组合能够达到最多的那个？这个我没想出来…… 各位有想法的还请不吝赐教：）

 

呵呵，个人想法，欢迎拍砖，指正：）