经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)

经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)

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    • 说明
  • 题目
    • 原理分析
      • 思路一——纵向寻踪
      • 思路二——横向寻踪
    • 代码实现——Java
      • 方式一——纵向寻踪
      • 方式二——横向寻踪
    • 相关题目其他变形:
      • 1.杨辉三角(来源:力扣LeetCode)
      • 2.弹球问题
      • 3.路径问题
  • 官方题解
    • 代码——C语言
  • 拓展
    • 杨辉三角与斐波那契数列
    • 杨辉三角与等差数列

算法目录合集

地址

   算法目录合集

说明

  该地址指向所有由本人自己所经历的算法习题(也有可能仅仅是一个入门的案例或者是经典案例),仅仅为我做过而且比较有意思的,也许还会有一些我自己想出来的,出于兴趣写在这里,具体格式我会在下面列明,总目录也会在这里出现,方便查阅以及自己进行复习回顾。

题目

经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第1张图片

原理分析

  做这个图形首先要先找到数字之间的规律,然后再画个等腰三角形,相信等腰三角形家都会画,所以我着重说一下找规律的方法。
  这个题有多种思路可以解决,在这里我提供两种思路供大家参考:

思路一——纵向寻踪

  第一种思路非常简单,就是跟着这个三角形的规律走,也即是杨辉三角所发现的规律:一个数字为他的两肩之和,即:第三行的第二个数字为第二行的第一个和第二个数字的和;第八行的第五个数字,为第七行的第四个和第五个数字之和,发现规律没?第n行的第m个数字,就是第(n-1)行的第(m-1)和第m个数字的和,于是我们就可以规定好第一行与第二行的数字(都是1),以及大三角形两腰的数字(都是1),然后按照既定的规律来寻迹了。这便得到了我们的核心代码:

for (int row = 0; row < 总层数; row++) {
     
	triangles[row][0] = 1;
	triangles[row][row] = 1;
	for (int seat = 1; seat < row; ++seat) {
     
		triangles[row][seat] = triangles[row - 1][seat - 1] + triangles[row - 1][seat];
	}
}

  其中:

	triangles[row][0] = 1;
	triangles[row][row] = 1;

  就是来为特殊情况(每条边)进行赋值为1 的。而:

for (int seat = 1; seat < row; ++seat) {
     
	triangles[row][seat] = triangles[row - 1][seat - 1] + triangles[row - 1][seat];
}

  就是实现第n行的第m个数字,就是第(n-1)行的第(m-1)和第m个数字的和的操作。于是就可以得到了我们所需要的数组,画出来即可。(具体代码以及结果参见下面的代码实现——方式一

思路二——横向寻踪

  这个思路不太容易想到,不过我给大家提个醒,在高中的时候,老师教的二项式定理大家有没有还给老师啊?这里就要用到相关的知识:
  二项式定理的表现形式如下:

( x + y ) n = C n 0 x n y 0 + C n 1 x n − 1 y 1 + C n 2 x n − 2 y 2 + … … + C n n − 1 x 1 y n − 1 + C n n x 0 y n (x+y)^n =C_{n}^{0} x^ny^0+C_{n}^{1} x^{n-1}y^1+C_{n}^{2} x^{n-2}y^2+……+C_{n}^{n-1} x^1y^{n-1}+C_{n}^{n} x^0y^n (x+y)n=Cn0xny0+Cn1xn1y1+Cn2xn2y2++Cnn1x1yn1+Cnnx0yn

  这里我们要用到的就是他们的常数项,即: C n 0 C_{n}^{0} Cn0 C n 1 C_{n}^{1} Cn1 C n 2 C_{n}^{2} Cn2 …… C n n − 1 C_{n}^{n-1} Cnn1 C n n C_{n}^{n} Cnn这些数,大家可以随意给n赋值,看看有什么结果?

n 数列
3 1、3、3、1
6 1、6、15、20、15、6、1
9 1、9、36、84、126、126、84、36、9、1
…… ……
n C n 0 C_{n}^{0} Cn0 C n 1 C_{n}^{1} Cn1 C n 2 C_{n}^{2} Cn2 …… C n n − 1 C_{n}^{n-1} Cnn1 C n n C_{n}^{n} Cnn

  是否很神奇呢?根据二项式推出来的常数项的值,好巧不巧,与杨辉三角的相对应的层数的数列是完全一样的。那还不手到擒来?我们只需要把这个数学语言转化为计算机语言就行了,计算机怎么找出一行中的数字规律?他不行,得我们来,我们让计算机按照我们给出的值去计算就可以了,那么,当给定了第一个值 C n 0 C_{n}^{0} Cn0如何让他计算出 C n 1 C_{n}^{1} Cn1呢?给出了 C n n − 1 C_{n}^{n-1} Cnn1又如何去找出 C n n C_{n}^{n} Cnn呢?我们不如随便假设一个数字 C n r C_{n}^{r} Cnr,看看他与他之后的一位 C n r + 1 C_{n}^{r+1} Cnr+1的关系,并根据此做出一个推定,再去验证:

C n r = n ! r ! ( n − r ) ! C_{n}^{r} = \dfrac{n!}{r! (n-r)!} Cnr=r!(nr)!n!

    = n × ( n − 1 ) × … … × 2 × 1 r × ( r − 1 ) × … … × 2 × 1 × ( n − r ) × ( n − r − 1 ) × … … × 2 × 1 = \dfrac{n\times(n-1)\times……\times2\times1}{r\times(r-1)\times……\times2\times1 \times (n-r)\times(n-r-1)\times……\times2\times1} =r×(r1)××2×1×(nr)×(nr1)××2×1n×(n1)××2×1

    = n × ( n − 1 ) × … … × ( n − r + 2 ) × ( n − r + 1 ) r × ( r − 1 ) × … … × 2 × 1 = \dfrac{n\times(n-1)\times……\times(n-r+2)\times(n-r+1)}{r\times(r-1)\times……\times2\times1} =r×(r1)××2×1n×(n1)××(nr+2)×(nr+1)

  所以同理可以得出:

C n r + 1 = n ! ( r + 1 ) ! [ n − ( r + 1 ) ] ! C_{n}^{r+1} = \dfrac{n!}{(r+1)! [n-(r+1)]!} Cnr+1=(r+1)![n(r+1)]!n!

     = n × ( n − 1 ) × … … × ( n − r + 1 ) × ( n − r ) ( r + 1 ) × r × ( r − 1 ) × … … × 2 × 1 = \dfrac{n\times(n-1)\times……\times(n-r+1)\times(n-r)}{(r+1)\times r\times(r-1)\times……\times2\times1} =(r+1)×r×(r1)××2×1n×(n1)××(nr+1)×(nr)

  于是很容易找出在每一行中,后一项是前一项的 k k k倍:

    k = C n r + 1 C n r = n × ( n − 1 ) × … … × ( n − r + 1 ) × ( n − r ) ( r + 1 ) × r × ( r − 1 ) × … … × 2 × 1 × r × ( r − 1 ) × … … × 2 × 1 n × ( n − 1 ) × … … × ( n − r + 2 ) × ( n − r + 1 ) k=\dfrac{C_{n}^{r+1}}{C_{n}^{r} }= \dfrac{n\times(n-1)\times……\times(n-r+1)\times(n-r)}{(r+1)\times r\times(r-1)\times……\times2\times1} \times \dfrac{r\times(r-1)\times……\times2\times1}{n\times(n-1)\times……\times(n-r+2)\times(n-r+1)} k=CnrCnr+1=(r+1)×r×(r1)××2×1n×(n1)××(nr+1)×(nr)×n×(n1)××(nr+2)×(nr+1)r×(r1)××2×1

  验证一下,n=5,r=3,可以得出 C 5 3 = 10 C_{5}^{3} = 10 C53=10 C 5 4 = 5 C_{5}^{4} = 5 C54=5,而且 C 5 4 C 5 3 = 1 2 = ( 5 − 3 ) ( 3 + 1 ) \dfrac{C_{5}^{4}}{C_{5}^{3} }= \dfrac{1}{2}= \dfrac{(5-3)}{(3+1)} C53C54=21=(3+1)(53),推广到r=n-1,也是没有问题的,所以这就是我们要找的规律了: ( n − r ) ( r + 1 ) \dfrac{(n-r)}{(r+1)} (r+1)(nr),还原成计算机语言的时候注意计算机是从0开始数数的,就好了:于是得到了我们的核心代码:

for (int row = 0; row < triangles.length; row++) {
     
	//每层的第一个数字
	int member = 1;
	//对每层数值单独操作
	for (int seat = 0; seat < triangles[row].length; seat++) {
     
		//每层的其余数字
		triangles[row][seat] = member;
		member = member * (row - (seat + 1) + 1) / (seat + 1);
	}
}

  初始化第一个数字为1,然后赋值给数组triangles[row][]的0号索引位置,然后对初始化值member进行规律变化,再赋值给第二个……以此类推,得到全数组,然后画出来即可。(具体代码以及结果参见下面的代码实现——方式二

代码实现——Java

方式一——纵向寻踪

package com.interest.test;

/**
 * com.interest.test
 *
 * @author g55zhw
 * @create 2020-09-05-18-53
 */
public class TriangleYang01 {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        int plies = 13;
        int[][] generate = setTriangle(plies);
        for (int printFloor = 0; printFloor < generate.length; printFloor++) {
     
            //打印每行第一个数字之前的占位符
            for (int printSpace = 0; printSpace < plies - printFloor; printSpace++) {
     
                System.out.print("\t");
            }
            for (int printMember : generate[printFloor]) {
     
                System.out.print(printMember + "\t\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

	//定义生成三角形的方法
    public static int[][] setTriangle(int plies) {
     
        int[][] triangles = new int[plies][];
        for (int nums = 0; nums < plies; nums++) {
     
            triangles[nums] = new int[nums + 1];
        }
        for (int row = 0; row < plies; row++) {
     
            triangles[row][0] = 1;
            triangles[row][row] = 1;
            for (int seat = 1; seat < row; ++seat) {
     
                triangles[row][seat] = triangles[row - 1][seat - 1] + triangles[row - 1][seat];
            }
        }
        return triangles;
    }
}

结果演示

													1		
												1		1		
											1		2		1		
										1		3		3		1		
									1		4		6		4		1		
								1		5		10		10		5		1		
							1		6		15		20		15		6		1		
						1		7		21		35		35		21		7		1		
					1		8		28		56		70		56		28		8		1		
				1		9		36		84		126		126		84		36		9		1		
			1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1		
		1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1		
	1		12		66		220		495		792		924		792		495		220		66		12		1		

方式二——横向寻踪

package com.interest.test;

/**
 * com
 *
 * @author g55zhw
 * @create 2020-09-05-18-34
 */
public class TriangleYang02 {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        int plies = 12;
        int[][] triangles = setTriangle(plies)
        ;

        for (int printFloor = 0; printFloor < triangles.length; printFloor++) {
     
            //打印每行第一个数字之前的占位符
            for (int printSpace = 0; printSpace < plies - printFloor; printSpace++) {
     
                System.out.print("\t");
            }
            for (int printMember : triangles[printFloor]) {
     
                System.out.print(printMember + "\t\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }

	//定义生成三角形的方法
    public  static int[][] setTriangle(int plies) {
     
        //定义一个13层(随着题目所需层数变化而变化的)的双数组
        int[][] triangles = new int[plies + 1][];
        //定义每层里的元素个数
        for (int i = 0; i <= plies; i++) {
     
            triangles[i] = new int[i + 1];
        }

        for (int row = 0; row < triangles.length; row++) {
     
            //每层的第一个数字
            int member = 1;
            //对每层数值单独操作
            for (int seat = 0; seat < triangles[row].length; seat++) {
     
                //每层的其余数字
                triangles[row][seat] = member;
                member = member * (row - (seat + 1) + 1) / (seat + 1);
            }
        }
        return triangles;
    }
}

结果演示

												1		
											1		1		
										1		2		1		
									1		3		3		1		
								1		4		6		4		1		
							1		5		10		10		5		1		
						1		6		15		20		15		6		1		
					1		7		21		35		35		21		7		1		
				1		8		28		56		70		56		28		8		1		
			1		9		36		84		126		126		84		36		9		1		
		1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1		
	1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1		
1		12		66		220		495		792		924		792		495		220		66		12		1		

相关题目其他变形:

1.杨辉三角(来源:力扣LeetCode)

  这两个力扣的杨辉三角的题都是非常基础的,在这里就不做过多的计算了,大家看看就可以了,我的leetcode也不收录这俩题了,没啥意思,链接给你们,自己去看,可以练练手,118.杨辉三角、119.杨辉三角II(不过那里面用其他方式的解题思路大家可以看看,学习学习,思路学会了真的很重要)。

2.弹球问题

  如下图,黑球为游戏用球,白色圆球为障碍物,小黑球落下后与白色球碰撞后,假设落到两侧的几率是完全一样的并且只能落在相邻的两个空格内。那么,小黑球落在E格中的概率一定是最大的,店主放在那里的奖品也一定是最差的。我们不难对这种游戏进行数学还原:从该图中不难发现,各区域的概率与杨辉三角形有密切联系,我们可以直接利用杨辉三角的性质得出小球落到每个区域的概率。
经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第2张图片
  对于每个格子小黑球落入的概率分析如下(分析过程略,概率学初级知识,随便可以查查),对于这个图,我们要得到的ABCDEFGHI的概率如下图所示的: 1 256 \dfrac{1}{256} 2561 1 32 \dfrac{1}{32} 321 7 64 \dfrac{7}{64} 647 7 32 \dfrac{7}{32} 327 35 128 \dfrac{35}{128} 12835 7 32 \dfrac{7}{32} 327 7 64 \dfrac{7}{64} 647 1 32 \dfrac{1}{32} 321 1 256 \dfrac{1}{256} 2561
经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第3张图片
  那么多加两层呢?我们难道要去一点一点写出来吗?明显是不可能的,那么我们就要找到他的普遍规律,这组数据不太方便看,那么我把它复原一下,不再进行约分:
经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第4张图片
  熟悉了吧?分子就是杨辉三角,分母就是2的层数次方( 2 层 数 2^{层数} 2),在数学上的表达就是:F格子的概率为 C 8 5 2 8 = 56 256 = 7 32 \dfrac{C_{8}^{5}}{2^8}=\dfrac{56}{256}=\dfrac{7}{32} 28C85=25656=327 ;那么第m行的第n个格子的概率就是 C m n − 1 2 m \dfrac{C_{m}^{n-1}}{2^m} 2mCmn1
  数学规律找到了,那么实现代码也就很容易了,这里我采用横向寻踪的方式,分母直接采用控制台用户输入的数据,分子通过杨辉三角数组进行查询,代码如下:

package com.interest.test;

import java.util.Scanner;

/**
 * com.interest.test
 *
 * @author g55zhw
 * @create 2020-09-06-11-06
 */
public class ParkBall {
     
    public static void main(String[] args) {
     
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        String define = null;
        String exit = "exit";
        while (!exit.equals(define)) {
     
            System.out.println("请输入游戏障碍物的层数");
            String piles = sc.next();
            System.out.println("请输入需要查询的格子(需要小于您输入的层数+2,否则无法查询)");
            String seat = sc.next();
            int sum = (int) Math.pow(2, Double.parseDouble(piles));
            int[][] parkBall = setTriangle(Integer.parseInt(piles));
            
            try {
     
                int gcd = getGCD(parkBall[Integer.parseInt(piles)][Integer.parseInt(seat) - 1], sum);
                System.out.println(gcd);
                int pilesGCD = parkBall[Integer.parseInt(piles)][Integer.parseInt(seat) - 1] / gcd;
                int sumGCD = sum / gcd;
                System.out.println("分子为:" + parkBall[Integer.parseInt(piles)][Integer.parseInt(seat) - 1] + ",分母为:" + sum + ",落入第" + piles + "行第" + seat + "个格子的概率为:" + pilesGCD + "/" + sumGCD);
            } catch (ArrayIndexOutOfBoundsException e) {
     
                System.out.println("输入错误");
            }
            System.out.println("是否继续?(输入“exit”退出,输入任意值继续)");
            define = sc.next();
        }
        System.out.println("感谢您的使用");
    }

    /**
     * 返回传入参数的最大公约数
     * @param a 参数
     * @param b 参数
     * @return a 与 b 的最大公约数
     */
    public static int getGCD(int a, int b) {
     
        int min = Math.min(a, b);

        int gcd = -1;

        for (int i = min; i >= 1; i--) {
     
            if (a % i == 0 && b % i == 0) {
     
                gcd = i;
                break;
            }
        }
        return gcd;
    }

    /**
     * 返回杨辉三角数组
     * @param plies 层数
     * @return int[][] 表示杨辉三角的数组
     */
    public static int[][] setTriangle(int plies) {
     
        int[][] triangles = new int[plies + 1][];
        for (int i = 0; i <= plies; i++) {
     
            triangles[i] = new int[i + 1];
        }

        for (int row = 0; row < triangles.length; row++) {
     
            int member = 1;
            for (int seat = 0; seat < triangles[row].length; seat++) {
     
                triangles[row][seat] = member;
                member = member * (row - (seat + 1) + 1) / (seat + 1);
            }
        }
        return triangles;
    }
}

  测试结果

请输入游戏障碍物的层数
8
请输入需要查询的格子(需要小于您输入的层数+2,否则无法查询)
6
8
分子为:56,分母为:256,落入第8行第6个格子的概率为:7/32
是否继续?(输入“exit”退出,输入任意值继续)
yyy
请输入游戏障碍物的层数
9
请输入需要查询的格子(需要小于您输入的层数+2,否则无法查询)
3
4
分子为:36,分母为:512,落入第9行第3个格子的概率为:9/128
是否继续?(输入“exit”退出,输入任意值继续)
exit
感谢您的使用

  成功

3.路径问题

  具体还是参见第62题:不同路径(中等难度)——如何学以致用
经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第5张图片

官方题解

代码——C语言

原答案有出入,我稍微调了一下,对于结果是没有影响的。

#include 
#define N 12

long combi(int n, int r){
     
	int i;
	long p = 1;
	for(i = 1; i <= r; i++)
	p = p * (n-i+1) / i;
	return p;
}

int main(void) {
     
	int n, r, t;
	for(n = 0; n <= N; n++) {
     
		for(r = 0; r <= n; r++) {
     
			int i;/* 排版设定开始 */
			if(r == 0) {
     
				for(i = 0; i <= (N-n); i++)
				printf(" ");
			}else {
     
				printf(" ");
			} /* 排版设定结束 */
		printf("%3d", combi(n, r));
		}
	printf("\n");
	}
}

拓展

杨辉三角与斐波那契数列

将杨辉三角依次下降,成如图所示排列,将同一行的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下:

f(1) = C 0 0 C_{0}^{0} C00 = 1
f(2) = C 1 0 C_{1}^{0} C10 = 1
f(3) = C 2 0 C_{2}^{0} C20 + C 1 1 C_{1}^{1} C11 = 1+1 = 2
f(4) = C 3 0 C_{3}^{0} C30 + C 2 1 C_{2}^{1} C21 = 1+2 = 3
f(5) = C 4 0 C_{4}^{0} C40 + C 3 1 C_{3}^{1} C31 + C 2 2 C_{2}^{2} C22 = 1+3+1 = 5
f(6) = C 5 0 C_{5}^{0} C50 + C 4 1 C_{4}^{1} C41 + C 3 2 C_{3}^{2} C32 = 1+4+3 = 8
f(7) = C 6 0 C_{6}^{0} C60 + C 5 1 C_{5}^{1} C51 + C 4 2 C_{4}^{2} C42 + C 3 3 C_{3}^{3} C33 = 1+5+6+1 = 13
f(8) = C 7 0 C_{7}^{0} C70 + C 6 1 C_{6}^{1} C61 + C 5 2 C_{5}^{2} C52 + C 4 3 C_{4}^{3} C43 = 1+6+10+4 = 21
……
f(n) = C n − 1 0 C_{n-1}^{0} Cn10 + C n − 2 1 C_{n-2}^{1} Cn21 + … + C n − 1 − m m C_{n-1-m}^{m} Cn1mm (m<=n-1-m)

经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第6张图片

杨辉三角与等差数列

经典算法大全51例——3.杨辉三角(又称帕斯卡三角形)_第7张图片

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