最简单易懂的堆排序

堆排序
a) 堆排序是一种原地的、时间复杂度为O(nlogn)的排序算法.
b) 如何理解”堆"? 堆是一种特殊的树
堆是一个完全二叉树
堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做”大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做”小顶堆”。

1. 往堆中插入一个元素，堆化，堆华实际上有两种，从下往上和从上往下。
   我们先从下往上的堆化，如下图
   

往堆中插入数据的过程：

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标 1 开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i/2 的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

2. 删除堆顶元素
   从上往下的堆化方法 ，如下图：
   
   删除堆的代码:

   public void removeMax() {
   if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
   a[1] = a[count];
   –count;
   heapify(a, count, 1);
   }

   private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
   while (true) {
   int maxPos = i;
   if (i2 <= n && a[i] < a[i2]) maxPos = i2;
   if (i2+1 <= n && a[maxPos] < a[i2+1]) maxPos = i2+1;
   if (maxPos == i) break;
   swap(a, i, maxPos);
   i = maxPos;
   }
   }

如何基于堆实现排序？
堆排序的过程大致分解成两个大步骤，建堆和排序。
从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化，如下图

建堆的时间复杂度就是 O(n)O(n)O(n)。

2）、堆排序
建堆后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的，数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。
这个过程有点类似讲的”删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为n的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的n-1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是n-1的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。

堆排序的代码如下：
// n 表示数据的个数，数组 a 中的数据从下标 1 到 n 的位置。

public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}