浮点数在计算机中的编码

浮点数在计算机中的编码

 

我们知道整数在计算机中的编码，源码，补码，反码等等，利用二进制的数表示一个整数，比如，32可以表示成“100000”，但是对于浮点数的编码，一般的教材介绍的很少，这里做了一点资料整理，希望对大家有用。

1、历史

浮点表示对形如的有理数进行编码。它对执行涉及非常大的数字（|V|>>0）、非常接近于0（|V|<<1）的数字，以及更普遍的作为实数运算的近似值的计算，是很有用的。

直到20世纪80年代，每个计算机制造商都设计了自己的表示浮点数的规则，以及对浮点数执行运算的细节。另外，他们常常不会关注运算的准确性，而把实现的速度和简便性看得比数字精确性更重要。

大约在1985年，这些情况随着IEEE标准754的推出而改变了，这是一个仔细定制的表示浮点数及其运算的标准。这项工作是从1976年开始由Intel赞助的，在8087设计的同时，8087是作为一种为8086处理器提供浮点支持的芯片。他们请William Kahan（加州大学伯克利分校的一名教授）作为顾问，帮助设计未来处理器的浮点标准。他们支持Kahan加入一个IEEE资助的制定工业标准的委员会。这个委员会最终采纳的标准非常接近于Kahan为Intel设计的标准。目前，实际上所有的计算机都支持这个后来被称为IEEE浮点的标准。这大大提高了科学应用程序在不同机器上的可移植性。

题外话：这里也是看出来Intel的人有着一般人没有的前瞻性，果然，大公司还是大公司

2、IEEE浮点表示

IEEE浮点标准使用的形式来表示一个数：

符号(sign)：s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0），而对于数值0的符号位解释做特殊情况处理。

尾数(significand)：M是一个二进制小数，它的范围是，或者是。

阶码(exponent)：E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次冪（可能是负数）。

在C语言中浮点数包括单精度浮点数（float）、双精度浮点数（double），分别占有32位和64位，对于float而言，符号位用1位表示，尾数M用8位表示，阶码E用23位表示。而对于double而言，符号位1位，尾数11位，阶码52位，具体表示如下图所示。

单精度

31 30                23 22                                      0

s

exp

frac

 

双精度和单精度类似，这里不做描述。

题外知识：

（float和double的精度是由尾数的位数来决定的。浮点数在内存中是按科学计数法来存储的，其整数部分始终是一个隐含着的“1”，由于它是不变的，故不能对精度造成影响。

float：2^23 = 8388608，一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字；

double：2^52 = 4503599627370496，一共16位，同理，double的精度为15~16位。）

这里拿单精度浮点数做例子说明。

当给定了一个浮点数后，根据里面M和E值的不同分为三种情况，规格化的值、非规格化的值以及特殊值，浮点数存储在4个字节内，如下图所示：

1：规格化的值

s

f

注意：阶码的值不能全为1或者全为0。

2：非规格化的值

s

0

0

0

0

0

0

0

0

f

注意：阶码的值全为0。

3：特殊值

3a:无穷大

s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

注意：阶码的值全为1，尾数为0。

3b:非数字，即表示的不是一个数字

s

1

1

1

1

1

1

1

1

≠ 0

 

这三种情况分别怎样表示浮点数呢？这里分别说明：

 

情况1：规格化

阶码的位既不全为0，也不全为1，这种情况下

公式的三个参数: s已知；

E的值为e-bias,其中e是8位阶码所代表的值，例如“00000011”就表示3，bias是一个等于（k是阶码的位数，这里是8位）的偏置值。

M的值定义为1+f，f是23位二进制码尾数代表的值。

情况2：非规格化

此时阶码域全为0，在这种情况下，阶码值E=1-bias，尾数M=f。

情况3：特殊值

当阶码全为1，尾数为0时表示无穷大，当s=0时表示正无穷，s=-1时表示负无穷，如果尾数值不为0，那么这样所表示的就不是一个数，比如当计算时。

3、浮点表示实例

前面做了那么多讲解，相信有些还是有些迷糊，这里做一个示范，显示浮点数表示法的具体应用：

假设一个8位的浮点数，其中阶码位k=4，尾数位n=3，那么根据公式，偏置量bias=7，以下表格是浮点数的具体表示：

描述	位表示	指数	小数	值
		e    E    2E	f     M	M*2E    V   十进制
0 最小的非规格化数         最大的非规格化数	0 0000 000 0 0000 001 0 0000 010 . . . 0 0000 111	0    -6   1/64 0    -6   1/64 0    -6   1/64       0    -6   1/64	0/8   0/8 1/8   1/8 2/8   2/8       7/8   7/8	0/512    0    0.0 1/512  1/512  0.001953 2/512  1/256  0.003906       7/512  7/512  0.013672
最小的规格化数             1	0 0001 000 0 0001 001 . .     . 0 0110 110 0 0110 111 0 0111 000 0 0111 001 0 0111 010     . . . 0 1110 110	0    -6   1/64 0    -6   1/64       6    -1   1/2 6    -1   1/2 7    0    1 7    0    1 7    0    1       14   7    128	0/8   8/8 1/8   9/8       6/8   14/8 7/8   15/8 0/8   8/8 1/8   9/8 2/8   10/8       6/8   14/8	8/512  1/64   0.015625 9/512  9/512  0.017578       14/16   7/8   0.875 15/16  15/16  0.9375 8/8      1    1.0 9/8     9/8   1.125 10/8    5/4   1.25       1792/8  224   224.0
最大的规格化数	0 1110 111	14   7    128	7/8   15/8	1920/8  240   240.0
无穷大	0 1111 000	—   —    —	—     —	—            —

相信大家通过这个表格能够对浮点数的计算机表示得到自己的理解。