12个高矮不同的人，排队问题。引出卡特兰数（Catalan）

传闻是【阿里巴巴笔试题】：12 个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

网上看了很多解答，但理解起来仍然费劲。索性自己动手，加强记忆。
本文用2次 “等价证明” 将答案引到卡特兰数。不正之处，欢迎指出。

等价问题1

由6个0和6个1组成一个12位的二进制数，要求从左到右扫描，任意位置，0的累计数都不小于1的累计数，求满足条件的组合有多少种。

【证明】：把12个人以A,B,C…F,L从低到高标记。将第一排位置标上0，第二排位置标上1。如下图：

然后从A-L顺序开始分配位置。根据分配顺序，得出一个由6个0和6个1组成的二进制数。又因为每次分配的都是当前最矮的人，所以分配必须遵循如下规则，才能满足题目要求。
1：无论分配0还是1，只能分配左边数过来第一个没人的位置。
2：当想分配1的时候，对应的0上必须有人。
根据以上两点，得出这个这个12位的数在任意时刻，0的累计数都不小于1的累计数。证明完毕。

等价问题2

有6个元素和一个栈，任何一个元素进栈后可选择立即出栈 or 栈里不动，比如第一个元素进栈完毕，下一个动作可以选择出栈或让后一个元素进栈，进栈次序为1、2、3、4、5、6，问不同的出栈次序有几种？

6个元素对应6个【进栈动作】和6和【出栈动作】，总计12个动作。
由【等价问题1】我们得出了一个由6个0和6个1组成的12位的二进制数，并且任意位置的0的累计数都不小于1的累计数。例如：010101010101、000111000111。
我们把0看成元素入栈，1看成元素出栈。因为栈内必须有元素才能选择【出栈动作】，所以0的累计数【入栈动作】在任意时刻都是不小于1【出栈动作】的累计数。得出等价问题1=等价问题2。证明完毕。

【解法】

基于【等价问题2】，我们假设为n个元素的进出栈操作。定义函数h(n)，h(n)为n个元素进出栈次序的解。假设k为最后一个出栈的元素，比k早进栈早出栈的元素有k-1个，那么这k-1个数共有h(k-1)种出栈方式。同理，比K晚进栈早出栈的元素有h-k个，共有h(h-k)种出栈方式。求得当k最后一个出栈时，共有h(k-1)*h(h-k)种出栈方案。因为K是1-n的任意值。得出结果：h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0)。
当只有一个元素时，即n=1时，只有一种出栈方式，得出：h(1)=1。又根据公式h(1)=h(0)*h(0)，得出h(0)=1。即h(1)=1,h(0)=1。

java代码实现h(n)；将n = 6带入，计算出结果132。

    public static int h(int n){
     
        if(n == 0 || n == 1){
     
            return 1;
        }
        int r = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++){
     
            r += h(i) * h(n - i -1);
        }
        return r;
    }

参考：
https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%A1%E7%89%B9%E5%85%B0%E6%95%B0/6125746
https://blog.csdn.net/qq_38216239/article/details/78738785