数列极限
《目录》
- 极限的概念
- 计算内接多边形的面积
- 柯西数列极限的定义
的极限 = ? ?
- 芝诺悖论
- 魏尔斯特拉斯的数列极限
- 魏尔斯特拉斯数列极限的定义
- 理解复杂式子的方法
- 数列极限的证明
- 数列极限的重要性质及证明
极限的概念
给您一个有意思的视频：《极限是概念》、《无穷小》。
听不懂，也可以看看电影，《无穷小》一定要看！！！
极限：虽不能至，心向往之。
计算内接多边形的面积
内接等边多边形能来逼近圆的面积，可内接等边多边形的面积又怎么算呢 ？
建议从最简单的情况入手，也就是当内接等边多边形是三角形的情况：
【推导过程】
分析上图，已知 
，圆的半径为 
。
作一个辅助线，通过圆心向某条边做垂线：
上图的绿色三角形被切分成了俩个更小的三角形，三角形的面积公式： 
。
俩个更小的三角形面积都是：
。
那绿色的大三角面积是俩个更小的三角形的面积和：
。
内接等边三角形刚好是绿色三角形面积的 
倍，因此：
。
而 ，所以： 
我们把这个最小的例子一般化，内接等边 
边形的面积为：
。
约分： 
。
一般化后就能推出：
- 【等边三角形】的面积：
- 【等边四边形】的面积：
- 【等边五边形】的面积：
- 【等边六边形】的面积：
-
- 【等边 N边形】的面积：
柯西数列极限的定义
俩个世纪后，数学家柯西使用了极限理论。
柯西把这些等边多边形的面积用花括号扩起来，称之为数列：
数列的定义：
这个静态的数列实际上表示了逼近这一过程（很神奇）：
按照对内接等边 边形的面积的分析，数列可以写完变量的形式：
。
函数图像：随着边数 的增加，数列逼近面积的误差越小：
用代数表示：
柯西成功的把逼近转为了严格的数学对象，数列。并且给出了数列的极限的定义：
柯西数列极限的定义：若某数列无限地趋向于某一实数，与该实数的差可以任意小，则该确定的实数称为此数列的极限。
的极限 = ? ?
埃利亚学派古希腊哲学家巴尔尼德强调："能被思想的就能存在" 存在本身的说法引起了很多人的批评与嘲笑。
芝诺为了替老师辩护，发展出一种特殊的哲学方法 --"归谬法"。
所谓的“归谬法”就是您跟别人在辩论的时候，您先暂时接受别人说的是对的，然后再通过举例、论证来说明，最后证明结论是荒谬的，这叫做“归谬法”。
双方辩论时，您证明自己的说法有时候更不容易，还不如先暂且接受对手是对的，然后再说他那个对的说法最后会得到荒谬的结论。
芝诺：既然我老师说没有变化，所以我就要告诉你们，你们以为有变化，是因为你们认为变化出现，变化代表很多东西存在，从这个变成那个，有多样性；同时变化一定在时间、空间里面展开，所以你们认为有时间、空间还有多元的东西。那我现在告诉你们，你们所认为的三点：有变化、有时间、有空间都是错误的。
为此，芝诺举了四十几个 "悖论"，如著名的：
阿喀琉斯（Achilles）是有名的飞毛腿，跑得飞快的，但是他如果让乌龟先走一步，他就永远追不上乌龟了。
而我们学习的是，与之类似的问题......
证明 0.999··· = 1。
1 = 1，这个不用证明了，可以直接用。
- 1 = 1
将等式俩边同时除以 3 ，左边写成小数形式，右边写成分数形式，
- 0.333··· =
俩边同时 *3 ，得
- 0.999··· = 1
证毕，您觉得这样证明对不对呢 ? ? ?
其实有许多证法，这是不标准的证法之一，说不标准是因为证后还是让人不明所以，证明后更加混乱了。
我们可以把 0.999···999，组成一个无穷集合P。
那么 n 越大，就越接近 1，但 无论 n 多大， 一定小于 1。
- 0.999···9 < 1
- 0.999··· = 1
想一想，这是为什么 ？
0.9，0.99，0.999，0.999···9, 一直延伸会无限的接近 1 --- 在一个数列中，0.999··· 就是 1 的书写形式。
- 0.999··· 表示 1
即使， 0.9，0.99，0.999，0.999···9一直延伸，1也是出不来的，0.999···表示的就是 这个出不来的 1。
所以，
所以， 0.999··· = 1， 证毕。 （您可以简单的理解为只是一种书写形式的变化，就好像表示某个数值，不一定只能用10进制）
如果使用一般化方法，把具体数 0.9，0.99，0.999，0.999···9 抽象为 ，把 1 抽象为 某个数 记为 ?,
n --> ∞ 时
因此 ， 的极限 = ? . ?是数列指向的目标，数列经过 无限操作 后依然不能达到的目标呢！
得到了全世界，为什么就是得不到你 ！ ！ ！ --- 虽然不能至，❤️ 向往之。
我们刚刚学习的极限“虽不能至，心向往之”就是解决 芝诺悖论 的必要条件。
芝诺悖论
在南意大利 有俩大学派，一个是毕达哥拉斯学派，另一个就是爱利亚派 ，巴门尼德则是其中的领袖。
巴门尼德说万物起源，不应该只关注质料，如 水、气、火，或是 关注 TA 的形式，如数学，而是应该关注那唯一的 “存在本身”。
如果有一样东西真的存在，TA一定能够被我们谈论，能被我们谈论，一定能被我们思想，因此，能被思想与存在是一起的，TA 就是永恒、唯一的。
巴门尼德的这句话启蒙了唯心论(柏拉图) 和 唯物论(德谟克利特)，其中 "存在与思想一致性原则" 是巴门尼德的主要理论。
总的来说，赫拉克利特 认为一切都在变化之中，而巴门尼德认为万物没有任何变化，否定了 "时间"、"空间"、"变化"。
这说话当然引起了很多闲杂人等的批评和嘲笑，巴门尼德的弟子 --- 芝诺 看不过去就说一个著名的论证，也可说为悖论。
大佬出场了。
芝诺：阿喀琉斯（Achilles）是有名的飞毛腿，跑得飞快的，但是他如果让乌龟先走一步，他就永远追不上乌龟了。
无论是哲学家，还是数学家，在没有微积分之前，没有人能解决这个问题（虽然知道这是谬论）。
可我们学了微积分了啊，不妨令阿喀琉斯步行的速度为 
，乌龟爬行的速度为 
，并且在比赛之前，阿喀琉斯让乌龟先爬 
，在这种条件下，阿喀琉斯追赶乌龟所用的时间是多少呢 ？
(1). 阿喀琉斯追上乌龟所在的第一个位置所需时间是，
。
(2). 与此同时，乌龟又爬了， 
。
(3). 阿喀琉斯到达第二个位置要花费， 
。
(4). 乌龟又爬了， 
。
(5). 阿喀琉斯到达第三个位置所需时间， 
。
这些数字按其先后，可以构成一个数列：
。
极限：
。
所以，阿喀琉斯 
就能追上乌龟。
芝诺说的其实就是无限级数求和，只不过他不知道，
并不等于无限大，而是等于 
！
魏尔斯特拉斯的数列极限
柯西定义的数学极限：若某数列无限地趋向于某一实数，与该实数的差要多小就多小，则该确定的实数称为此数列的极限。
这个定义中有几个问题是含混的：
-
什么是“无限”？
-
什么是“无限地趋向于”？
-
什么是“任意小”？
虽然柯西的定义直观易懂，但还不严格呐。
举个例子，
，TA 的图像：
数列图像是趋于 
，但却是上下浮动。这到底 算不算“无限地趋向于0” ，到底算不算“与0的差可以要多小就多小”？
柯西的定义还比较局部，后来维尔斯特拉斯借助不等式，通过俩个变量之间的关系，定量的、具体的刻划了俩个“无限过程”之间的联系解决了柯西数列没有说清楚的定义。（简单来说，柯西用的是人的语言来描述微积分，而维尔斯特拉斯用的是数学语言来描述微积分）
魏尔斯特拉斯大概是这么考虑的，假如有这样一个数列，猜猜某实数 
为数列的极限，再用一根平行 
轴的虚线表示：
任意给一个正实数 
，以 为中心做一个区间（绿色区间），此时有有限个点在此区间外（红点）：
随着正实数 的变小（越来越逼近 ），始终只有【有限个点】在此区间外：
若是没猜对，随着正实数 的缩小，会有无数个点在此区间外：
神马都是浮云，这种思路很独特：
- 极限 是猜测的，具体的猜法待续；
- 正实数 是任取的，只要能逼近 。
魏尔斯特拉斯数列极限的定义
我们看看数学语言（涉及到一些高等数学的符号）是如何描述上面的思路：
代表任意，
代表存在。
写成一句话就是：
正整数 
当 
时，有 
。
或者是：
。
或者是：
。
只要理解了这句话，这篇文章基本不用看了，数列的极限都懂了，最多看一下证明。
理解复杂式子的方法
我们试着解读这样一个式子：。
这个式子有点复杂，拆分着读即可。
- 代表任意， 代表存在。
为了明确符号 、 的有效范围，我们加一些大括号。
从左开始：
![\forall \epsilon >0\left [ ~~ \right ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/4e5e5b56e5954485a5f17ee4c55903d2.gif)
数学语言转自然语言：对于任意正数。![\forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\left [ ~~\right ]\right~ ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/a7688c5d26074319892576f6ac1f82bb.gif)
数学语言转自然语言：对于任意正数，都存在某个自然数
。![\forall \epsilon >0\left [ ~~\exists N ~~\left [ ~~\forall n~~\left [ ~~ \right ]~\right ]\right~ ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/8228db8f313c4cd8879beba391a2ff2c.gif)
数学语言转自然语言：对于任意正数，都存在某个自然数，使得 ..... 对任意自然数 都成立。![\forall \epsilon >0\left [~~\exists N ~~\left [ ~~\forall n\begin{bmatrix} n>N\Rightarrow \begin{vmatrix} a_{n}-L \end{vmatrix}<\epsilon \end{bmatrix}~~ \right ]~\right ]\right~](http://img.e-com-net.com/image/info8/b472b324f7354c82bbac64caa4666870.gif)
，填上括号里面的内容。
数学语言转自然语言：对于任意正数，都存在某个自然数，使得 【 
】对任意自然数 都成立。
我们再润润色：若对于任意正数，给每个都选定某个合适的自然数，则能使命题 对于任意自然数 都成立。
- 数学语言转自然语言：若 大于 ，则点 与点 的距离小于 。
如果换成“邻域”（类似区间的表示法）就是：若 大于 ，则点 在点的 邻域里。
- 总结在一起：若对于任意正数，给每个都选定某个合适的自然数，则能使命题【若 大于 ，则点 在点 的 邻域里】对于任意自然数 都成立。
用人话说：不管是多窄的 邻域，只要根据 丢掉开头的前 N 项，就能把剩下的所有项一股脑的放进 的邻域里。
练习
实战一下，大概就明白了。
求
，即
在电脑里画出数列的图像：
合理猜测数列的极限为 0，也就是假设：
接着验证这个假设是否正确， 的意思是随意选一个 ，如 
，以 为中心构建区间：
只有三个点在区间外，再用极限定义计算下，区间内的点需要满足的条件是：
解不等式，可得以下条件满足时，上述不等式成立：
当 
时，此不等式不成立。
所以，进一步假设 
，此时 
时，排除掉前四个点，从第五个点开始就全在区间内了：
可见，多排除了一个点。不过不重要，我们关心的是否有无数点在区间内，多一个、少一个对判断没影响。
换成数学语言就是： 时，
有 
。
再进一步减小， 取 
又如何：
从图中看出，N最小为 5(5个点)
如果任意选择正数 ，需要满足：
。
因为 
，所以 ：
。
因此，只要选择 
，就 
时有：
。
用数学语言来书写：对于 
，假设 
，有：。
数学语言和编程语言一样，多用就会了，因此：
。
数列极限的证明
如何用数列的定义来证明数列的极限 ？
思路是：用
求
，
这个数列的极限就是 1：
。
极限是 1，减去 1：
。
带入 
的通项公式：
。
要在这个等式成立的情况下，找出 N 证明就完成了。
进一步化简：
令 ![N=\left [ \frac{1}{\epsilon } \right ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/c7ba2e6bcf574252afc9b1d8b275ccb4.gif){kind=small}
（取整），
，所以 
，证毕。
如果数列的极限不是真的，是找不到 的。
数列极限的重要性质及证明
数列极限的重要性质及证明主要有 4 个：
- 极限唯一性：只有一个极限
- 有界
- 保号
- 子数列收敛于同数列
采用反证法，证明数列极限唯一性
假设数列有俩个不相等的极限 a、b，a < b。
根据极限定义：
，当
，当
因为
。
，当
接着算第二个极限是 b 的，算出
，和第一个极限是 a 的矛盾了。
所以说，数列如果收敛的，那TA的极限是唯一的。
反例：证明
是发散的。
