连通、弱连通

有向图的连通性

有向图强连通分量在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径,同时还有一条从vj到vi的有向路径,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。有向图的边都是单向的,因此可达性不具有传递性:u可以到达v,不见得v到达u。但如果u和v相互可达,那么对于任意其他结点w来说,w、u之间的可达性与w、v之间的可达性相同。“相互可达”关系是一个等价关系,因此可以根据这个关系把所有结点分成若干集合,同一个集合内的点相互可达,不同集合内的点不相互可达,如下图:



每一个集合称为有向图的一个强连通分量(Strong Connected Component,SCC)。如果把一个集合看成一个点,那么所有SCC构成了一个SCC图:

通分量

无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量(或连通分支)。连通图只有一个连通分量,即其自身;非连通的无向图有多个连通分量。


连通图

在无向图中, 若从顶点v1到顶点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的,则称此图是连通图。
强连通和弱连通的概念只在有向图中存在。
一个 无向图G=(V,E) 是连通的,那么 边的数目大于等于顶点的数目减一:|E|>=|V|-1,而反之不成立
如果 G=( V, E) 是 有向图,那么它是 强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目:|E|>=|V|,而反之不成立。
没有 回路的 无向图是连通的当且仅当它是树,即等价于:|E|=|V|-1。


强连通图

在有向图中, 若对于每一对顶点v1和v2, 都存在一条从v1到v2和从v2到v1的路径,则称此图是强连通图。
即 有向图 G=( V, E) 中,若对于V中任意两个不同的 顶点 xy,都存在从 xy以及从 yx的路径,则称 G是强连通图。相应地有强 连通分量的概念。 强连通图只有一个强 连通分量,即是其自身;非强连通的 有向图有多个强连分量。


单向连通图

如果有向图中,对于任意节点v1和v2,至少存在从v1到v2和从v2到v1的路径中的一条,则原图为单向连通图。
即设G=是 有向图,如果u->v意味着图G至多包含一条从u到v的简单路径,则图G为单连通图。
强连通图、连通图、单向连通图三者之间的关系是, 强连通图必然是单向连通的,单向连通图必然是弱连通图


弱连通图

将 有向图的所有的有向边替换为无向边,所得到的图称为原图的基图。如果一个 有向图的基图是连通图,则有向图是 弱连通图。


初级通路

通路中所有的 顶点互不相同。初级通路必为简单通路,但反之不真。


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