卡特兰数——Catalan数(从一道腾讯笔试题引发的学习和思考)

时间:2014.04.15

地点:基地

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一、故事背景

  卡特兰数是离散数学中的一个重要数列,是很多生活场景的一个抽象,比如买早餐啦,买电影票啦等等。在很多大公司的笔试或者面试题中也常涉及到。

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二、卡特兰数的引出

  在x-y坐标平面上,考虑两种一格一格的移动,每一次平移我们可以上移一格,也可以下移一格,左移或者右移也是一样。姑且这样定义:

右移U:  (X,Y)——。(x+1,y)          上移U: (X,Y)——>(x,y+1)

现在问通过这两种移动每次移动一次,有多少种方法可以从点(0,0)移动到点(5,5),这显然是5个R和5个U的组合排列,共十次移动,10选5就可以了,C(10,5)

比如: RRUURRURUU  是符合要求的

我们再加点限制,在这个过程中不可越过直线y=x,但可接触。于是你该知道,这样的限制意味着,移动到每一点时,所经过的R的个数一定大于或等于U的个数,如果小于则不合要求。

比如: RRUURRURUU 符合限制条件

比如: RUUURRRUUR  就是不和限制条件

对于不符合限制条件的情形来说,我们先把它在第一次越过y=x点处断开,分为两个部分

RUU   URRRUUR  

然后第一部分因为符合要求不变,第二部分做翻转操作,即R变U,U变R,于是得

RUR   RUUURR

其实这样的分法,我们可以想到,在第一次越过直线时分开,即会导致前面部分得U比R多一个,而后面部分的R会比U多一个,一翻转就是U比R多一个,如此,总共翻转序列后U就比R多出两个,比如此处R只有4个U却有5个。同样的道理,可知所有不满足条件的情形一一对应着4个R和6个U的排列情形,这些情况的个数就是10选4么,C(10,4),现在你知道了,加上限制条件后方法数就是

N=C(10,5)-C(10,4)=45

于是,可以这样总结,对于任意正整数n,如果你想从点(0,0)移动到点(n,n)且不越过直线y=x的方法数为:

Kn=C(2n,n)-C(2n,n-1)

这个Kn就是传说中的卡特兰数,简单吧~~ K0=1,K1=1, K2=2,K3=5, K4=14,K5=42, K6=132

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三、卡特兰数的应用

1.给乘积X1X,X3......Xn加括号的方法数

将问题转化一下,就是爬坐标,左括号数一定要大于或者等于右括号数

2.排列三个1和三个-1,使得从左到右部分和总是非负的方法数

将问题转化一下,就是加括号的方法数,排1的个数一定要大于或者等于排的-1个数

3.给定四个1和四个0,进行排列组合,使得从左往右读0的个数不超过1的个数

将问题转化为读括号,从左往右读,左括号一定要大于或等于右括号个数。

4.来个看起来复杂点的:将1 2 3 4 5 6排成两行,使得每行3个数,并且每行从左往右读值增加,每一列小数在上

我们可以想象, 1 2 3代表左括号, 4 5 6代表右括号,为了从左往右读值增加,方法会有很多,但加上小数在上大数在下,就相当于左括号数总是大于或者等于右括号数么。假设这里的“左括号”少一个,那么下面一行对应会多一个左括号,而且因为值要求从小到大排列,即每行左括号总是在前,那么在上下对齐时,由于下面左括号要多,所以下行最后一个左括号肯定对齐着上行的右括号,是不符合要求的,但上面行的左括号要多这是没问题的。

5【阿里巴巴笔试题】:说16个人按顺序去买烧饼,其中8个人每人身上只有一张5块钱,另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个,开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气,每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

将问题转化为:带5块钱的排前面的个数总是要大于带10块钱的人的个数,即C(16,8)-C(16,7)

6.【腾讯笔试题】在图书馆一共6个人在排队,3个还《面试宝典》一书,3个在借《面试宝典》一书,图书馆此时没有了面试宝典了,求他们排队的总数?

将问题转化为:还书的人总是要大于或等于借书的人,即C(6,3)-C(6,2)

7.出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

将问题转化为:入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。C(2n,n)-C(2n,n-1)

8【阿里巴巴笔试题】12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

C(12,6)-C(12,5)

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