动态规划专题三——最长公共子序列

一、问题：例如，X = {a, b, c, b, d}, Y = {b, c, f, b}，最长公共子序列为{b, c, b}
二、问题分析：X1X2… Xm的长度为m，Y1Y2…Ym的长度为n，Z1Z2…Zk为公共子序列。
（1）假如Xm == Yn，即最后一个元素相同，则必有Zk = Xm = Yn，且Z1…Z(k-1)是X1…X(m-1)和Y1…Y(n-1)的最长公共子序列。
（2）假如Xm != Yn,即最后一个元素不相同，则最长子序列有两种选择。1、X1…Xn和Y1…Y（n-1）；2、X1…X(n-1)和Y1…Yn。而最长公共子序列就是上面两种选择的最大值。
三、状态转移方程：
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1; —— ( xi = yi)
dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]—— ( xi != yi)
0;——( i = 0 || y = 0)
其中：i是X，j是Y
四、代码：

#include
#include

using namespace std;

#define MAX_N 100

int n=4;
int m=4;
char s[MAX_N] = {
     'a','b','c','d'};
char t[MAX_N] = {
     'b','e','c','d'};
int dp[MAX_N+1][MAX_N+1];

void solve()
{
     
	for(int i = 0; i< n; i++)
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
     
			if (s[i] == t[j])
				dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j] + 1;//相同的字符就+1
			else
				dp[i + 1][j + 1] = max(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]);
		}
	cout << dp[n][m];
}

void main()
{
     
	solve();
}