HNOI 2010 平面图判定 题解

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题目大意： 给出一张包含一个哈密顿回路的图，问这个图是不是平面图（即可以画在同一个平面上且边不相交）。

题解

由于存在一个哈密顿回路（下面称作圆），所以每条边有三种连法：连在圆的内部，顺时针连在圆的外部，逆时针连在圆的外部，像这样：

但事实上可以发现，连在外部的话顺时针连和逆时针连其实是等价的，这个手玩一下数据就能明白（其实就是不管顺时针还是逆时针，会相交的还是会相交，不会相交的怎么都不会相交），那么每条边就只有两种连法。

假如对圆上的点按顺序重新编号，那么每条边可以看作一个区间，假如两个区间相交但不包含，那么这两个区间对应的边是不能同时在圆的同一侧的（即一个在内，一个在外才能不相交）。

诶，这似乎可以用 $2-SAT$ ？

边在内部还是外部对应 $0/1$ 两种状态，分别设为点 $i$ 和 $i^{\prime }$，相交而不包含的边 $a,b$ 之间 $a$ 和 $b^{\prime }$ 连边，$b$ 和 $a^{\prime }$ 连边，由于限制是相互的，所以要连无向边。然后看看有没有 $i$ 和 $i^{\prime }$ 能相互到达就好了。

由于连的是无向边而且只关心连通性，所以可以用并查集来搞。

而且如果直接枚举所有的边来建图，那么时间复杂度为 $O(m^2)$，实测会TLE两个点，所以还需要稍微优化一下，也就是把所有边按左端点排序，当枚举的第 $j$ 条边的左端点已经大于当前的第 $i$ 条边的右端点，那么 $j$ 之后的边都不可能与 $i$ 相交了，直接break。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define maxn 50010

int T,n,m;
struct section{
     int x,y;}sec[maxn],a[maxn];
int id[maxn],t;
bool cmp(section x,section y){
     return x.x<y.x;}
int f[maxn];
int findfa(int x){
     return x==f[x]?x:f[x]=findfa(f[x]);}
int link(int x,int y){
     x=findfa(x);y=findfa(y);if(x!=y)f[y]=x;}

int main()
{
     
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
     
		scanf("%d %d",&n,&m);
		for(int i=1,x,y;i<=m;i++)scanf("%d %d",&sec[i].x,&sec[i].y);
		for(int i=1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),id[x]=i; t=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
     
			int x=id[sec[i].x],y=id[sec[i].y];if(x>y)swap(x,y);
			if(x%n+1!=y&&y%n+1!=x)a[++t]=(section){
     x,y};
		}
		sort(a+1,a+t+1,cmp);
		for(int i=1;i<=2*t;i++)f[i]=i;
		for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=i+1;j<=t;j++)
		{
     
			if(a[j].x>a[i].y)break;
			if(a[i].x<a[j].x&&a[j].x<a[i].y&&a[j].y>a[i].y)
			link(i,j+t),link(j,i+t);
		}
		bool ans=true;
		for(int i=1;i<=t;i++)
		if(findfa(i)==findfa(i+t)){
     ans=false;break;}
		if(ans)puts("YES"); else puts("NO");
	}
}