【hdu4652】Dice 期望dp 推公式

Dice

题目描述

题目传送门
一个骰子有 $m$ 面，现在要求掷出如下情形的期望次数：

• 连续 $n$ 次结果都相同
• 连续 $n$ 次结果都不同

数据范围：

$n\le m\le 10^6$

题解

没啥好说的= =就推推公式

问题1

$$\begin{gathered} f(0)=1+f(1) \\ f(i)=1+\frac{1}{m}f(i+1)+\frac{m-1}{m}f(1) \\ =\frac{1}{m}+\frac{1}{m}f(i+1)+(1-\frac{1}{m})f(0)(i=0,1,...,n-1) \\ f(n)=0 \end{gathered}$$

不动点法：
$$\begin{gathered} x=\frac{1}{m}+(1-\frac{1}{m})f(0)+\frac{1}{m}x \\ x=f(0)-\frac{1}{1-m} \\ g(i)=f(i)-f(0)+\frac{1}{1-m} \\ g(i)=\frac{1}{m}g(i+1) \\ g(0)=\frac{1}{m^{n-1}}g(n-1) \\ \frac{1}{1-m}=\frac{1}{m^{n-1}}(f(n-1)-f(0)+\frac{1}{1-m}) \end{gathered}$$
注意到：
$$\begin{gathered} f(n-1)=\frac{1}{m}+\frac{1}{m}f(n)+(1-\frac{1}{m})f(0) \\ =\frac{1}{m}+(1-\frac{1}{m})f(0) \end{gathered}$$
因此：
$$\begin{gathered} \frac{1}{1-m}=\frac{1}{m^{n-1}}(\frac{1}{m}+(1-\frac{1}{m})f(0)-f(0)+\frac{1}{1-m}) \\ f(0)=\frac{1-m^n}{1-m} \end{gathered}$$

问题2

首先，错位相减，消除前缀和：
$$\begin{gathered} f(i)=1+\frac{m-i}{m}f(i+1)+\sum _{j=1}^i\frac{1}{m}f(j) \\ f(i-1)=1+\frac{m-i+1}{m}f(i)+\sum _{j=1}^{i-1}\frac{1}{m}f(j) \end{gathered}$$
发现配出了差分的式子：
$$\begin{gathered} f(i)-f(i-1)=\frac{m-i}{m}f(i+1)-\frac{m-i+1}{m}f(i)+\frac{f(i)}{m} \\ =\frac{m-i}{m}[f(i+1)-f(i)] \end{gathered}$$
再利用差分的前缀和求出答案：
$$\begin{gathered} a_i=f(i+1)-f(i) \\ {a}_0=f(0)-f(1)=1 \\ {a}_i=\frac{m^i}{{\prod }_{j=1}^i(m-j)}=\frac{m^i(m-i-1)!}{(m-1)!} \\ f(0)-f(n)=f(0)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i \end{gathered}$$