欧拉回路(Euler Circuit)

定义:若一副图中从某个顶点A走出,经过图中的所有的边,且每条边只经过一次,则称这个环为欧拉回路,如果某幅图含有这样的环,则这幅图叫做欧拉图。

如何判断一幅图是不是欧拉图,也即一幅图中是否含有欧拉回路。

  • 如果一幅图中所有顶点的出度等于入度,且此图为强连通图,则此图含有欧拉回路,这幅图为欧拉图。
如何在程序中实现判断一副图是否含有欧拉回路呢?如果存在,则将路径打印出来。

判断是否为存在欧拉回路可以直接利用上面的判断定理,但是打印出相应的路径就相对困难一些。

假设图G为一副含有欧拉回路的图,也即欧拉图。

  • 随机选取G中的一个顶点A,如果A不存在没有访问过的边,则将A加入路径
  • 如果A存在没有访问过的边,则随机取出A的一条未访问过的边进行访问,此时访问的顶点为B。
  • 重复上述两步,直到所有的边都被访问过为止。
  • 此时就得到了相应的欧拉回路。
为什么通过上面的方法能够得到欧拉回路呢?

  • 首先随机选择一个顶点A,进行路径寻找,最终会找到一个以A为起点和终点的环。
  • 此时如果不存在没有访问过的边,则这个环就为欧拉环。
  • 如果存在没有访问过的边,则我们可以知道,要想得到完整的欧拉环,必须先访问未访问过的边,为此说明此时的环A中含有某个顶点C,其存在没有访问过的边
  • 从C开始访问C未访问过的边,必得到一个以C为起点和终点的环,此时将这个环加入到A中,这就得到了我们想要的欧拉环。
如上图所示,先访问顶点A,之后得到红色的环,此时C,D,E三个顶点组成的环没有被访问,且C存在未被访问的边,因此在欧拉回路中,C,D,E组成的环应该先被访问,为此将A,B加入路径,然后C开始访问D,E,C,分别将之后分别将其压入路径,从而得到想要的路径为A,C,D,E,C,B,A。

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