原码,反码,补码

书本定义

1.我们在教科书上所见到的定义如下：

　　原码表示法是机器数的一种简单的表示法。其符号位用0表示正号，用1表示负号，数值一般用二进制形式表示。
　　机器数的反码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的反码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。
　　机器数的补码可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的补码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的补码是对它的原码（除符号位外）各位取反，并在未位加1而得到的。

依然是教科书式的解释，没有告诉我们为什么会出现反码，为什么会出现补码。在我google了多篇文章之后，做出此篇总结。

2.在维基百科中我们可以看到机器数的进化历史，通过这里我们可以看到，在以前的计算机中都是有用到三种机器数的，而现代计算机中都是用补码进行计算，但是在这篇百科中没有详细的告诉我们补码是如何出现的。要理解补码的出现我们需要了解一些其他知识：

• 计算机字长
• 模

计算机字长

字长就是计算机一次所能处理的最大一段二进制代码的长度。

模

　　模就是指计数的一个容量，比如说时钟，它的模就是12，因为每当超过12之后就又从1开始了，它的容量就是12个数，而我们的十进制数的容量就是10了，0-9共十个。而计算机为了精简系统并且提高效率，只设计了加法，并未设计减法，所以模在此时就显得很重要了。
　　试想一下时钟的走位，假如此时是分针指向了6，当我想将其调整到3时要怎么操作（这里我们忽略时针的影响），有如下两种方法：
1.逆时针调整3格
2.顺时针调整9格
　　假设我们定义顺时针为加法，逆时针为减法，那么以上两种方法是不是就是如下等式：6-3=6+9，也就是说减去一个数能够通过加上一个数来代替最后的变化值，这就是模在计算机中的一个重要作用。
　　那么这个加上的数是如何获得的，加上的数 = 模－减去的数 ，即6 - 3 = 6 + (12 - 3)或 6 - 3 = 6 + （-3 + 12）。我们称这个加上的数为减去的数的补数。
　 由以上我们总结出一个重要结论：减去一个数 = 加上这个数的补数。
　　在计算机中我们定义了它的字长，当一个操作数超过了定义的字长将会产生溢出，此时将会形成如同时钟指针的循环，比如一个8位字长的计数器，它的最大值为1111 1111，当该值+1时，将会变为0000 0000，它的最高位1将被舍弃。
　　

补码

　　知道了模的概念和字长的概念，和计算机只能计算加法的设计我们知道为什么要引入补码：为了更好地贴合计算机设计，将减法转换为加法进行计算。下面举个例子
　　计算机要计算8-3，在二进制中是如下进行操作的（假如为8位字长计算机）：

1. 8-3 = 8+（-3）
2. 我们知道二进制8：0000 1000 ，那么二进制的-3是如何获得的，由上述模的描述我们知道-3的补数：
   10000 0000
   -0000 0011
   －－－－－－
   1111 1101
3. 所以8+(-3)：
   0000 1000
   +1111 1101
   －－－－－－
   10000 0101
   由于字长限制，首位1将被去掉，从而获得0000 0101 ，也就是十进制的5。

补码计算的推导

那我们知道计算机中是没有减法计算的，而且当超出计算机字长的模出现无法进行操作，那以上的步骤二在计算机中是如何实现的呢，其实就是补码的书面定义：原码的反码+1即为补码。该定义可以如此推导：
1000…00 - x…x(x为0或1) =
111..11 + 000…1 - x…x = 111..11 - x…x + 000…1=
x¯¯¯ x ¯ … x¯¯¯ x ¯ + 000…1 = 反码 + 1

以上，有何不足或建议望指出。

参考内容：
维基百科
计算机组成原理