【C语言>数据结构与算法的应用4】巨大数----加减乘运算(万进制和Mec补码的应用)

什么是巨大数

巨大数其实就是有效数字位很大，可表示数的大小超过了int 的表示范围：[-217483648，2147483647]，虽然float、double类型可表示的数的范围很大，分别为：3.4E-38～3.4E+38、1.7E-308～1.7E+308。但是它们的有效数字位却不大，分别为：6 – 7位、5 – 16位。这时我们需要一个可以表示很大有效数字位的数—巨大数。

目的

为了解决超出计算机可表示范围数据的存储以及运算，如果按照平常的计算方法便会无能为力，这时，便需要一种可以解决更大位数计算的方法，也就是巨大数四则运算所存在的意义。而且我们的巨大数还可以为小数，因此起到增加计算精度的作用，本篇文章将重点讲述巨大数的存储以及四则运算。

巨大数的加法

巨大数的存储

上面说到，巨大数会超过int、float、double的表示范围，所以我们不能用它们来存储巨大数，这里我们用字符串，也就是定义一个char类型的数组，来存储巨大数，然后将它转化为整型量，存储到int类型的数组中(采用高高低低原则：数组的高位存储的是数据的高位，数组的低位存储的是数据的低位)，即数据的个十百千位的四个数，存储到数组的第一个元素上，再参与运算。

巨大数结构体

typedef struct HUGE_NUMBER
{
     
	boolean sign; //存储巨大数符号
	int *data; //存储巨大数的数字
	int count; //数组元素的个数
	int length; //巨大数位数
	int pow; //权重，多少位小数
}HUGE_NUMBER;

万进制

这里我们引入万进制，主要是为了效率问题，万进制，顾名思义，以万进1，其实万进制存储也就是用int类型的数组，四位一存，然后四位四位的进行运算，和我们所理解的十进制其实大同小异。如果，万进制运算效率高，那么我们为什仫不采用十万进制呢？ 这样运算效率会更高，因为万进制一个位存储的最大9999(大于9999要进位)，在做乘法计算时即使9999乘以9999，依然可以暂时放在这个位上，因为每一个位都是int类型的，整体是一个int类型的数组，最后再做统一处理。

微易码补码

这是巨大数的核心技术，相当厉害。

1. 微易码补码的原理，类似计算机中原码和补码的转化：正数，原码 = 补码；负数，补码 = 原码按位取反，末位加1。微易码补码的原理：正数，等于其本身；负数，9999 - 这个数的绝对值。
2. 为什么要引入《微易码补码》？在进行加减法运算时，减法可以转化为加法运算，那么减法其实就是加法，再进行加法过程中，运算数是带符号位的，有可能是负数。所以我们引入微易码补码就是为了减少因为负数而引起的复杂运算，这样简化运算。
   
3. 上面简单的举了个例子，来说明微易码补码，下面将详细介绍微易码补码的神奇之处：
   
   
   
   
4. 加法运算的代码：

void addHUGE(HUGE_NUMBER *hn1, HUGE_NUMBER *hn2, HUGE_NUMBER *result)
{
     
	int carry = 0;
	int sum;
	int i;

	result->count = hn1->count > hn2->count ? (hn1->count + 1): (hn2->count + 1);  //运算结果存在着进位的可能，所以要多申请一个空间；
	//若不进位，正数，这个空间将会补 0000 ；负数，这个空间将会补 9999。
	//建议可以变量跟踪一下。
	result->data = (int *)calloc(sizeof(int), result->count);
	for (i = 0; i < result->count; i++) {
     
		if (i >= hn1->count) {
     
			hn1->data[i] = 0;
		}
		if (i >= hn2->count) {
     
			hn2->data[i] = 0;
		}
		sum = getMecCode(hn1->data[i], hn1->sign) + getMecCode(hn2->data[i], hn2->sign) + carry;
		carry = sum / 10000;
		sum = sum % 10000;
		result->data[i] = sum;
	}
	result->data[0] += carry; //有进位情况下，运算的结果和正确结果相差1, 这里加上进位。
	if (hn1->sign ^ hn2->sign ^ carry) {
      //得到运算结果的符号，若为负号，要将补码转化。
		result->sign = NEGATIVE;
		for (i = 0; i < result->count; i++) {
     
			result->data[i] = getMecCode(result->data[i], result->sign);
		}
	}
	else {
     
		result->sign = POSITIVE;
	}	
}

int getMecCode(int data, char sign) 
{
     
	return ((sign == 1) ? (9999 - data) : data);
}

巨大数的减法

巨大数的减法和加法一样。减法就是将一个运算数取相反数，再调用加法函数，就ok了。

void subHUGE(HUGE_NUMBER *hn1, HUGE_NUMBER *hn2, HUGE_NUMBER *result)
{
     
	hn2->sign = (hn2->sign == 1) ? 0 : 1;
	addHUGE(hn1, hn2, result);
	hn2->sign = (hn2->sign == 1) ? 0 : 1;
}

巨大数的乘法

巨大数的乘法比较简单，它不需要用到微易码补码，只需要用万进制存储，就OK了。

四位一存，每次相错4位。

void mulHUGE(HUGE_NUMBER *hn1, HUGE_NUMBER *hn2, HUGE_NUMBER *result)
{
     
	int carry = 0;
	int sum;
	int i;
	int j;
	int t = 0;

	result->count = (hn1->count > hn2->count ? hn1->count : hn2->count) * 2;
	result->data = (int *)calloc(sizeof(int), result->count);
	result->sign = hn1->sign ^ hn2->sign;
	for (i = 0; i < hn1->count; i++) {
     
		t = i;
		for (j = 0; j <= hn2->count; j++) {
     
			if (j == hn2->count) {
     
				hn2->data[j] = 0;
			}
			sum = hn1->data[i] * hn2->data[j] + carry;
			carry = sum / 10000;
			sum = sum % 10000;
			result->data[t] += sum; //错位相加
			carry += result->data[t] / 10000; //保证每个数组元素中只存储四位
			result->data[t] = result->data[t] % 10000;
			t++;
		}
	}
}

运行结果：

总结

首先，感谢铁血教主的指导，在这个巨大数项目中，对于万进制和微易码补码的运用，我感到很凶悍，这些方法确实让人感到新颖，教主nb~。同时，在我完成过程中，觉得一定要注意“手工过程”和“变量跟踪”，许多错误在编写时，是很难发现的。所以，在编写前，先进行“手工过程”，而且一定要充足，这样整理和开阔你的思路，有时候你敲几个小时的代码，都不如半个小时的手工过程。同时和同学一起进行讨论也是一种开阔思维的方法。