洛谷 [P2594] 染色游戏

博弈论+SG函数的应用

这是一个二维翻硬币问题

一维翻硬币问题有一个结论:

局面的SG值等于局面中所有反面朝上的硬币单独存在时的SG值的异或和

这个结论同样适用于二维的翻硬币问题

证明可以用数学归纳法,这里省去(其实是我不会证)

那么如何求每个硬币单独反面朝上时的SG值,首先考虑递推

然而不会推

那就只好打表找规律

有如下规律:

\[ SG(i, j) = \begin {cases} lowbit(i + j - 1), \quad i == 1 || j == 1\\ 2 ^{ i + j - 2}, \quad i != 1 \&\&j != 1 \end{cases} \]

我们发现SG函数值最大可达 2 的 200 次方,无法用long long 储存

我们可以用 bool 数组 或 bitset 来模拟

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int T, sg[105][105], n, m, a[10005], cnt, mp[1200];
bool f[300];
int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}
int getsg(int a, int b){
    if(a == 1 || b == 1){
        return mp[lowbit(a + b - 1)];
    }else return a + b - 2;
}
int main() {
    for(int i = 0 ; i <=9 ; i++) {
        mp[(1<>T;
    while(T--) {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        cin>>n>>m;
        int ans = 0;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            for(int j = 1 ; j <= m ; j++) {
                char c ;
                scanf(" %c ", &c);
                if(c !='H'){
                    f[getsg(i, j)] ^= 1;
                }
            }
        }
        for(int i = m + n - 1 ; i >= 0 ; i--) if(f[i]) {ans = 1;break;}
        if(ans) printf("-_-\n");
        else printf("=_=\n");
    }
    return 0;
}

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