不调用库函数求根号x的计算方法（二分/三分/牛顿迭代法）
求：y=√x
1.二分法求零点
由于函数在(0,+oo)为单调函数,取值为正
y*y - x = 0 设 g(y) = y*y - x ，函数值在自变量y属于(0,+oo)也单调。g(0)<=0 ,g(x+1)>0 所以可在区间[0,x+1]上采用二分法
#include
const double eps=1e-10;//精度小数点后10位
//求y=根号x
//则y^2=x
double Abs(double val) {//求val的绝对值
if (val < 0)
val = -val;
return val;
}
int main(void) {
double x;
scanf("%lf", &x);
double l = 0, r = x + 1, mid = l;
while (Abs(r - l) > eps) {//区间长度大于eps就继续二分区间
mid = (l + r) / 2;
if (mid * mid > x)
r = mid;
else
l = mid;
}
printf("%.20f", mid);
return 0;
} 二分法的时间复杂度为 log2(x/精度)
eg.
输入：2
输出：1.41421356229693630000
2.三分法求极值
求√a，需构造函数。由于 a+b>=2√(ab) [当且仅当a等于b时，原式取等]。所以构造函数：
y = x+a/x （a>0）
只有当x=√a时，y可取得极小值。然后三分区间 ( 0, a + 1]，当函数求得极值时即求得横坐标 ans = x
#include
const double eps=1e-10;//精度小数点后10位
double Abs(double val) {//求val的绝对值
if (val < 0)
val = -val;
return val;
}
double func(double a, double x){//构造的函数，在(0,+oo)上有唯一的极值
return x+a/x;
}
int main(void) {
double x;
scanf("%lf", &x);
double l = eps, r = x + 1, lm, rm;
while (Abs(r - l) > eps) {
lm = (l*2+r)/3;
rm = (r*2+l)/3;
double fl = func(x,lm);
double fr = func(x, rm);
if(fl 三分法的时间复杂度为 log1.5 (x/精度)
eg.
输入：2
输出：1.41421357309081250000
3.牛顿迭代法 （学过数学的真nb）
//推荐 https://blog.csdn.net/xdu_pyl/article/details/46786167
f(x) = 0
利用泰勒公式，在x0处展开到一阶，即f(x) = f(x0)+f'(x0)*(x－x0) + 误差
设g(x) = f(x0)+f'(x0)*(x－x0) 即f(x)在点x0处的切线
令g(x)=0,解上式得 x = x0 - f(x0)/f'(x0) 设x1 = x
f(x1)比f(x0) 更接近f(x), 得递推式 x[n+1]=x[n] - f(x[n])/f'(x[n])
--
设f(x)=x*x-a=0
则递推式为 x[n+1] = x[n] - (x[n]*x[n]-a)/(2*x[n]) 即 x[n+1] = x[n]/2+a/(2*x[n])
#include
const int N=100;
int main(void) {
double a;
scanf("%lf", &a);
double xn=1;
for(int i=0;i 牛顿迭代法的时间复杂度 可以取决于迭代次数，一般收敛得很快
输入：2
输出：1.41421356237309490000
比较：
二分法：2 输出：1.41421356229693630000
三分法：2 输出：1.41421357309081250000
牛顿法：2 输出：1.41421356237309490000
输出：1.41421356237309504880..
二分法：102365789 输出： 10117.59798568808400000000
三分法：102365789 输出： 10117.59819612991900000000
牛顿法：102365789 输出： 10117.59798568810600000000
输出： 10117.59798568810501243327
结论：
在浮点数运算有误差的情况下，三分法效果最差，二分法适中，牛顿迭代法最精确且时间复杂度低，编程难度最小