Master定理学习笔记

前言

\(Master\)定理，又称主定理，用于程序的时间复杂度计算，核心思想是分治，近几年\(Noip\)常考时间复杂度的题目，都需要主定理进行运算。

前置

我们常见的程序时间复杂度有：

\(O(n)/O(n^2)/O(nlog_2n)/O(2^n)\)等等...

我们叫它程序的渐进时间复杂度，例如一段程序执行这样的循环：

for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        sum+=a[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        pai*=a[i][j];

显然，这段代码一共运行了\(n^3+2n^2\)次，我们将它的渐进时间复杂度写作\(O(n^3)\)，即保留最高项但忽略其系数，约定：一般我们将\(log_2n\)写作\(logn\)，将\(logn*logn\)写作\(log^2n\)

算时间复杂度有什么用呢？一般来说，在比赛时我们将知道程序的时间限制，一般为\(1s\)，我们可以通过粗略计算程序时间复杂度来判断程序是否能在\(1s\)通过，否则会\(TLE\)。

时间复杂度	\(1s\)内稳过的范围	极限范围（危险）
\(O(1)\)	\(\infty\)	\(\infty\)
\(O(wys)\)	\(\infty\)	\(\infty\)
\(O(logn)\)	\(\infty\)	\(\infty\)
\(O(n)\)	\(5\times10^7\)	\(10^8\)
\(O(nlogn)\)	\(5\times 10^5\)	\(10^6\)
\(O(n^2)\)	\(5000\)	\(10000\)
\(O(n^3)\)	300	500
\(O(2^n)\)	25	27
\(O(n!)\)	11	11（稳过）
\(O(n^n)\)	8	8（稳过）

PS：由于程序存在常数因子，极限范围不一定能过，除非你是欧洲人。

大概来说，如果你算出的渐进时间复杂度量化后在千万级别[\(n\times10^7\)]，基本上是很稳的

对于非递归程序时间复杂度的运算方法，比较简单粗暴的方法是数循环。但这种方法并不一定始终正确，如\(NOIP2017PJT4\)的二分答案是\(O(logn)\)复杂度的，\(dp\)的转移是执行\(n\)次的，而对于单调队列，每个元素至多进队一次，出队一次，最多与\(2n\)次操作，\(dp\)的总操作次数应该是将它们加在一起，共\(3n\)次操作，时间复杂度为\(O(n)\)，而不是\(O(n^2)\)，总复杂度为\(O(nlogn)\)，与之类似的还有\(kmp\)算法的时间复杂度。（PS:\(kmp\)算法的时间复杂度至今仍存在争议，我们一般将其视作\(O(n)\)的）

　正文

介绍\(master\)定理前，首先要知道一个符号

1. \(T(n)\)表示时间复杂度，可以这样表示：\(T(n)=\)一个单项式，例如：

\(T(n)=2T(n/2)+f(n)\)

1. \(\Theta\) 读音：\(theta\)，表示等于
2. \(O\) 读音：\(big\ oh\)，表示小于等于
3. \(o\) 读音：\(small\ oh\)，表示小于
4. \(\Omega\) 读音：\(big\ omega\)，表示大于等于
5. \(\omega\) 读音：\(small\ omega\)，表示大于

主定理是怎么表示的呢？

• 我们目前有一个规模为\(n\)的问题
• 通过分治，我们将问题分成\(a\)个规模为\(\frac{n}{b}\)，每次递归将带来\(f(n)\)的额外计算
• 于是得到关系式：

\(T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)\)

此外，我们还要定义一个\(C_{crit}\)，它是这样计算的：

\(C_{crit}=log_ba\)

那么有：

• 当\(f(n)=O(n^c)\)，且\(c时有：\(T(n)=\Theta(n^{c_{crit}})\)
• 例子：
• \(T(n)=8T(\frac{n}{2})+1000n^2\)
• 此时\(a=8,b=2,f(n)=1000n^2\)
• 当\(c=2\)时，\(f(n)=O(n^2)\)
• 又因为\(C_{crit}=log_ba=3>c\)
• 所以\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})=\Theta(n^3)\)

• 当\(f(n)=O(n^c)\)，且\(c>c_{crit}\)时有：\(T(n)=\Theta(f(n))\)
• 例子：
• \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^2\)
• 此时\(a=2,b=2,f(n)=n^2\)
• 当\(c=2\)时，\(f(n)=O(n^2)\)
• 又因为\(c_{crit}=log_ba=1
• 所以\(T(n)=\Theta(f(n))=\Theta(n^2)\)

• 若存在一个非负整数\(k\)，使得\(f(n)=\Theta(n^{c_{crit}}log^kn)\)
• 那么\(T(n)=\Theta(n^{c_{crit}}log^{k+1}n)\)
• 例子：
• \(T(n)=2T(\frac{n}{2})+10n\)
• 此时\(a=2,b=2,f(n)=10n\)；\(c_{crit}=log_ba=1\)
• 当\(k=0\)时\(f(n)=\Theta(n^1log^0n)=\Theta(n)\)
• 所以\(T(n)=\Theta(n^1log^1n)=\Theta(nlogn)\)

练手题

• 首先，我们知道\(a=2,b=4,f(n)=\sqrt{n}=n^{\frac{1}{2}}\)；\(c=\frac{1}{2},c_{crit}=log_42=\frac{1}{2}\)
• 当\(k=0\)时，满足条件3，所以，\(T(n)=O(\sqrt nlogn)\)，选\(C\)

---

\(T(n)\)
\(=T(n-1)+n-1+n\)
\(=T(n-2)+n-2+n-1+n\)
\(=...\)
\(=T(0)+0+1+2+...+n-2+n-1+n\)
\(=1+\frac{n\times (n+1)}{2}\)
\(=O(n^2)\)

选择\(D\)

---

• 假设\(g(i)\)，为计算\(F(i)\)的次数，因为\(F(i)=F(i-1)+F(i-2)\)所以\(g(i)=g(i-1)+g(i-2)\)
• 因为\(F(1)=g(1)=1,F(2)=g(2)=1\)，所以\(g(n)=F(n)\)
• 则:

\(T(n)=g(n)=F(n)=O(F(n))\)

选择\(D\)

完结

这和大家能够平安过初赛！

转载于:https://www.cnblogs.com/water-mi/p/9794604.html